利用柯西不等式求最值例.docx
类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解：且，函数的定义域为，且，y=5XJx-1+2×XJs?×-亍，+(J5-Xy=63即时函数取最大值，最大值为法二：且，函数的定义域为/-51一5配右代斤工由2x-1yfi-2x2x-T-2x,得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10,最小值为-10【变式2】己知，求的最值.法一：由柯西不等式(2x+y)3()a+(2y/3÷a于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值.根据柯西不等式3×40=(1+1+1)(2x+1)+(3y+4)+(5z+0(1×72x+1+1×3j+4+1×5z+6)3故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即时等号成立，此时，变式4：设M=(1,0,-2),b=(x,y,z),X2+y2+Z2=16,则Mb的最大值为【解】*.*M=(1,0,-2),b=(x,y,z)/.a.b=×-2z由柯西不等式“2+o+(_2)2(x2+y2+z2)(x+0-2z)2=>5×16>(x-2z)2z=>-45X4y5=>-45a.b45,故.5的最大值为4括：变式5：设X,y,zR,若2+y2+z2=4,则x-2y+2z之最小值为时，(x,y,z)=解(X-2y+2z)2(x2+y2+z2)12+(-2)2+22=4.9=36/.X2y+2z最小值为-6,公式法求(x,y,z)此时xyz-6-2-24-41-2222+(-2)2+223333变式6：设X,y,zr,若2x3y+z=3,则/+(y1尸+z?之最小值为,又此时y=o解析：Y+(y-1)2+z2偿2+(-3)2+12(2x-3y+3+z)2x2+(y-1)2+z2-141Q最小值匕7,2x-3y+z=3,:.2(2f)-3(-3r+1)+r=3274916变式7：设a,b,C均为正数且a+b+c=9,则一+'+'之最小值为abc解：(yU+>=yhH-J=yfc)(11)(a+b+C)JaZ?cabc916八204916819(2+3+4)2=81=>-+-+-=9bcabc9123变式8：设a,b,c均为正数，且。+3+3c=2,则一+巳之最小值为abc解：(右)2+(扬尸+(病)2Kj1)2+(J)2+(J)2q+2+3)2123*.(I1)18,最小值为18abc变式9：设X,y,ZWR且+()'+2+03)=,求+y+z之最大、小值:1654解】.喑+空+/=1由机西不等式知42+(5)2+22(2")2+(陛2)2+(三°)2+124.(!-)+5.()+2=>25×1(x+y+z-2)2=5>x+y+z-2=>-5x+y+z-25.,.-3x+y+z7故X+y+z之最大值为7,最小值为-3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：(1)巧拆常数(例1)(2)重新安排某些项的次序(例2)(3)改变结构(例3)(4)添项(例4)例1.设、为正数且各不相等，求证：Ka+)÷(+c)+(c+)(+-)a+b+cc+0又、各不相等，故等号不能成立工。例2.、为非负数，+=1,求证：即例3.若>>,求证：解：，所证结论改为证(-c)(J-+-)(a-ft)+(-e)(-1+-i-)a-bb-ca-bb-c例4.,求证：左端变形，只需证此式即可。abc0,a、，bCV+3=(+1)+(÷D÷(+1)ft÷ecaa-¥b÷c+c+A=6+c)÷(c+)÷(+6)(-?-+5+)2+c(r÷+【变式1】设a,b,c为正数，求证：V3+2+a+cj+ca+32(+6÷c),即。同理将上面三个同向不等式相加得，Ja'+b'+Vc2÷aV(+6+c)【变式2】设a,b,c为正数，求证：策+专+宕M+1+"哧电+击石+2。庚于是即【变式3己知正数满足证明。解：又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得：7(2÷2+?)3(5+i5+?)3(J÷i3+?)故类型三：柯西不等式在几何上的应用6.AABC的三边长为a、b.c,其外接圆半径为R,求证：(公+从+?)(-1-+-1-+77)36R2SmAsinBsinC证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，(2+3÷c3)(-i+-4+-V-)36#于是左边=sin。sma55m2C。【变式】AABC之三边长为4,5,6,P为三角形内部一点，P到三边的距离分别为X,y,z,求的最小值。且4x+5y÷6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)22(x2+y2+z2)(42÷52+62)>(x2+y2+z2)×77x2+y2+z20柯西不等式(a1b1+a2b24Fcnbn)2(a；+a；H卜a：T,；+&T卜b；J(CIh7?,z=1,2)等号当且仅当勾=。2=4=0或时成立(k为常数，i=12")利用柯西不等式可处理以下问题：1)证明不等式例2：已知正数。力1满足+占+。=1证明a3+b3-c3ab+c32/32323Jy/3Y/32/32证明：(2+Z?2+c2)"=ci2a2+bb2+b2+c。a+8+cI/JJJ=(3+/+c3)(a+b+c)(a+b+c=1)又因为a2+b2+c2ab+bc+ca在此不等式两边同乘以2,再加上/+/十。?得：(a+b+c)3(a2+Z?2+c2)(a2+Z?2+C2)2(a3+Z+°3)3(q2+匕2+¢2)故+,3+c3>“十:+'2)解三角形的相关问题例3设P是AABe内的一点，x,y,z是P到三边a,Z?,C的距离，R是ABC外接圆的半径,证明+J7+G-=-Ja2+b2+c22H«+6+4檄，忌GKi总J/+方+/3）求最值例4已知实数4,4c,d满足+6+c+d=3,a2+2b2-3c2+6t2=5试求。的最值解：（32+3/+6/）（m卜(%+c+d)2即2b1+3c2+6J2(+C+J)2由条件可得，5-a2（3-a）2解得，1a2当且仅当翼=普=%时等号成立,必麻晒代入Z?=1,C=1d=J时,3621b=1,c=-,d=一时335)利用柯西不等式解方程ImaX=2“min=1例5.在实数集内解方程V2。29X÷y÷z=-4-8x+6y-24>,=39解：(f+丁+Z?+62+(-24)2-(-8x+6y-24y)2%2+/+Z2)(-8)2+62+(-24)2=(64+36+4×144)=392又(-8x+6y-24y)2=392,.(x2+/+z2)(-8)2+62+(-24)2J=(-8x+6y-24z)即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得=i=-4联立，可得9V=266x=1318z=13
