1819 24 242 抛物线的几何性质.docx

2.4.2抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质.(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题.(难点)3.直线与抛物线的公共点问题.(易错点)自主预习探新知教材整理/抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.类型/=2px(p>0)y2=2px(p>0)x1=2py(p>0)X2=2py(p>0)图象XiZT*性质焦点够)f(-2'°)40,-2)准线X=一9x=2y=-2逐范围GO,yRx0,y£RxR,GOx£R,y0对称轴X轴y轴顶点O(OO)离心率e=1开口方向向右向左向上向下1.判断(正确的打“，错误的打“X”)(1)抛物线是中心对称图形.()抛物线的范围是XWR.()(3)抛物线是轴对称图形.()(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(5)抛物线f=2py(p>0)上任意一点P(xo,yo)到其焦点的距离是M)+§()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2.若椭圆，+=1的左焦点在抛物线y2=2p沏>0)的准线上，则P=解析由椭圆标准方程知，=4,白=3,所以/=/一廿=1,所以椭圆的左焦点为（一1,0）,因为椭圆左焦点在抛物线=2px（p>0）的准线上，所以一§=1,故p=2.答案12教材整理2抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题.抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB=x+x2+pf在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，AoBO=皿称为抛物线的通径.1 .过抛物线y2=4-的焦点/做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A,B两点，则线段AB的长为.【导学号：71392097解析易知线段AB为抛物线的通径，所以A8=4.答案42 .如图2-4-2,过抛物线f=-4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A,B两点,。为抛物线的顶点，则aOAB的面积是.图2-4-2解析F（0,-1）,将丁=一1代入得XA=2,A3=4,*Soab=2×4×1=2.答案12合作探究攻重难IWi依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程例口已知双曲线G：萨一宫=Im>0,">0）的离心率为2.若抛物线。2：/=20，（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为已知抛物线的焦点厂在X轴正半轴上，直线/过尸且垂直于X轴，/与抛物线交于A,3两点，O是坐标原点，若aOAB的面积等于4,则此抛物线的标准方程为.【导学号：71392098)自主解答(I)：双曲线C:2-=i(6>0,8>0)的离心率为2,.=罕=2,.g50,；双曲线的渐近线方程为，5x±y=0,；抛物线C2:f=2py(p>0)的焦点z八5o当(0,句到双曲线的渐近线的距离为2=2，p=8.,所求的抛物线方程为x2=6y.(2)不妨设抛物线的方程为=2px,如图所示，AB是抛物线的通径，AB=2p,又OF=%,.FoA8=%3O7=:2pgp=2p2=4,故p=2p.答案(1*=16y(2)=42x名师指津利用抛物线几何性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.再练一题1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+16y2=144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3,则抛物线的标准方程为.解析椭圆的方程可化为器+5=1,其短轴在y轴上，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x1=2py或X2=-2Py(P>0),由抛物线焦点到顶点的距离为3得?=3,p=6.,抛物线的标准方程为f=12)，或/=一12.答案f=12y或x2=-12yIMS2与抛物线有关的最值问题例同求抛物线）=-X2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.【导学号：71392099精彩点拨本题的解法有两种：法一，设P（f,一»）为抛物线上一点，点到直线的距离为d=由一81,再利用二次函数求最小距离；法二，设直线以+3y+加=0与直线4x+3y8=0平行且与抛物线相切，求出加的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离.自主解答法一：设P）为抛物线上的点，它到直线4x+3y-8=0的距离4f-32832-4f+8c1=-5-=-5-2=I13G-D-I+8/、2=Kft）+324/.当f=1时，d有最小值法二：如图，设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+H=0,_2y_T,由4x+3y+m=0,消去y得3x2-4-w=0,4J=16÷12加=0,.9.m=-一4208+3T4最4、金巨离为g=5=3"'名师指津抛物线中最值的求解策略（1）可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点尸的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到尸的距离与点尸到准线距离的转化.再练一题2.已知直线/1：4x3y+6=0和直线，2：x=1»抛物线y2=4x上一动点P到直线6和直线/2的距离之和的最小值是.解析因为抛物线的方程为V=4x,所以焦点坐标厂(1,0),准线方程为工=-1,所以设尸到准线的距离为PB,则PB=PF,尸到直线:4-3+6=0的距离为PAf所以PA+PB=PA+PFFDt其中FD为焦点到直线4工一3)，+6答案12W3'抛物线的几何性质探究问题1 .从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？提示(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1,只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的.事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平.2 .如何认识抛物线的焦点弦？提示如图，48是抛物线2=2px(p>0)过焦点尸的一条弦，设A(X,y)fB(X2,y2)fAB的中点M(X0,yo)f相应的准线为/.(1)以A8为直径的圆必与准线/相切；(2)A8=2(40+目(焦点弦长与中点关系)；(3)AB=+x2÷p:(4)若直线AB的倾斜角为o,则AB=言£如当=90。时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的;2(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xX2=jy>,2=-P2;,1I12淳+而=1.3 .设抛物线上任意一点Pa0,泗)，焦点弦端点A(M,y),8(X2,”)，则四种标准形式下的焦半径PF、焦点、弦AB,如何表示.提示1标准方程yz=2px(p>0)产一2px(p>0)X2=2PXP>0)Xt=-2py(p>0)焦半径PFPF=xo+PF=2xoPF=y0+2尸F=?泗焦点弦ABAB=x+x2+AB=p-AB=y+”+AB=p-yPX1P例国已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点厂的直线交抛物线于A,B两点,5且AB=5p,求A8所在的直线方程.【导学号：71392100)精彩点拨求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率攵，利用直线AB过焦点7,AB=X1+x2+p=p求解.自主解答由题意可知，抛物线)2=2px(p>0)的准线为X=-2«设Aay),Bg竺)，A,B到抛物线准线的距离分别为以，cIb.由抛物线的定义，知Ab=dA=x+g,BF=dR=x2+%53于是AB=X1+x2+p=呼，x+x2=p.当XI=X2=§时，A3=2p<p,故直线AB与X轴不垂直.设直线AB的方程为)，=(¥一§.y2=2p,得SX2p(S+2)x+%2=o,p(c+2)G(3+2)3Xi+。=m,即m=誓,解付Z=±2.故直线AB的方程为)，=2(x§或y=2(x再练一题3 .斜率为1的直线经过抛物线y2=M的焦点，与抛物线相交于A,8两点,求线段AB的长.解由题意知抛物线焦点为尸(1,0),kAB=t所以AB的方程为)，=X1,代入y2=4x得(x1)2=4x,即2-6x+1=0,J=32>0,工设Aai,),B(x2ty2)f则x+x2=6,AB=AF+FB=x+x2+2=Sf；线段AB的长为8.I类型4|直线与抛物线的位置关系探究问题14 .直线与抛物线有几种位置关系？交点的个数怎样？直线与抛物线的交点个数能否用判别式来判断？提示三种位置关系，相交两个或一个交点；相切一个交点；相离没有公共点.当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断.5 .设直线/:y=kx+bi抛物线2=2px(p>0),如何判断直线与抛物线的交点个数？y=kx+b1提示直线与抛物线交点的个数等价于方程组<,的解的个数，1)=2px也等价于方程心22y+2Z?p=0的解的个数.若ZW0,当力乂)时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当4=0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当NvO时，直线和抛物线相离，无公共点.(2)若Z=O,则直线/与抛物线f=2pQ>0)相交，有一个公共点.特别地，当直线/的斜率不存在时，设直线，的方程为X=机，则当机>0时，/与抛物线相交，有两个公共点；当m=0时，/与抛物线相切，有一个公共点；当机<0时，/与抛物线相离，无公共点.(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点.例图求过定点P(O,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.【导学号：71392101)精彩点拨当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形.自主解答若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x=0.x=0,x=0,由2o得八Iy=Zr,1=0,直线X=O与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y=履+1.由'消去y得居r2+2(2-1)x+1=0.I)1=2x,'=1当A=O时，有/2，即直线y=1与抛物线只有一个公共点；J=I,当AWo时，有4=4(%1)2-43=0,%=；,即方程为y=%+1的直线与抛物线只有一个公共点.综上所述，所求直线的方程为R=O或y=1或y=%+1.再练一题4.设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点，已知弦AB的长为35