2009-2010概率论与数理统计期末试题2（答案）.docx
标准答案与评分标准-(12分)在电报通讯中，发射端发送“点”与“划”两种信号分别占60%与40%。由于随机干扰，接受端可能收到“点"，"戈'与“不清”三种结果。假定发射“点”时,收到“点” “划”与“不清”的概率依次是。70.1与0.2;而发射“划”时，收到上述三种结果的概率相应为0,0.9与0.1 .(1)求接收端收到“点”的概率；(2)若已知接受结果为“不清”时，求发射端发出的信号为“点”的概率.解：假设A=接收端收到“点” ,B, = 发射端发送“点” , B2= 发射端发送“划” (1)由全概率公式，可得2P(A) = gP(Bj)P(AlBj)2 分由题意可知，P(坊)=0.6, P(B2) = 0.4,P(A|B1) = 0.7,尸(A | 82) = 0,2 分将这些代入上面的全概率公式知所求的概率为P( A)= 0.422分 假设C=接受结果为“不清” ，则由Bayes公式可得所求概率IC尸(C|B|)P(31)P(与 I O =尸(C|8)尸(8) +尸(C|8)尸(8)11223 分=02x0,6= 0.750.2 x0.6 + 0.1x 0.43分二、(14分)设随机变量X的分布函数0, x0F x x,0x11, x 1(1)写出X的密度函数；求V21nx的密度函数解：(1)X的密度函数为1,0 x1f X 0,其他(4分)(2)解一：y 21nx的可取值范围是0,y 2 o由 y 21nx 得,-0vV故y 21nx在0,1 上严格单减(2分)1y其反函数x h y e2 ,1 y且 h y ”2(4分)所以y 2加工的密度函数fx1-y2fY(y)解二:因此其他21nx的分布函数Fy y0 时，Fy y 0；0 时，Fy y P Yy 21nx的密度函数（4分）21nx y（4分）（2分）（4分）三:、(18分)设随机向量(x,y)的联合密度/(4)为A 0 < x < 1 ,oo < y <oo7( y) = < (1+2)、o, 其他.(1)确定常数A;(2)求x，y的边缘密度启(幻，力。)，并判断x与y是否相互独立；(3)计算/min(X,Y)>d13J解：ffJ f(x, y)dxdy = 1.1 +001 AR 1+001dxdy = dxdyJ f;Jo J-00 (+y-)JoJ-8 +y2(2)f (x-r /(%,y)dyX J.00当0 < x < 1时，fx (x)=J (1 + y当工<0或12 1 时,fx(x) = 0.,l,0<x< 1,/w =/X ( 0淇他.00/")，) = /(X, y)cbcJ8用用仆，J() (1+/)d+y2)，=A =1=> A = l.(+4)- dy=.(+4)-oo <y < +oo.因为 f(x, y) = fx(x)fy( y), a.e(+4)，.所以x与y相互独立.(+2)(3) 因为x与y相互独立,Jy >、3= /x>WP min(X,y)> '3(+4)0 < x < 2, X < y<2x;1 j r2 3 3 z 3-ydy = I x dx = ;4。82(+3)E(X2) = P j4 x2f(x,y)cbcdy = cbc2x 2X ,一-<o -co）0），=/3/公=12。85Var(X) = E(X2)-(EX)2= 1- (J)2= 2_5220(2) E(Y) = J( yf (x, y)dxdy = j- dxX y J ydy = xdx = - 8F0x40 123(+3)(+3)E(Y2) =y2f(x, y)dxdy =公oo -coVar(Y) = £(/2) - (EK)2 =6-0 =:92x o 1r2 1 5 4y 一 ydy = j - x4dx = 6r 4016(+3)(3) E( XY)=x)/(x, y)dxdy =孙.-ydy =x dx = ;o x a ° 1215cov(x,y)= E(xy) E(x)E(y)T 二 二 j15 2 3 30( =p x >i2,y >12（18分）设二维随机变量（x,r）的联合密度函数为1于(x, y)=<4【。，(1)求石(X), V"(x);(2)求 WO；求协方差COV(X,y)和相关系数XY O解：(DfiXXj j xf(x, ydxdy = dxX x(+3)故 = cov(X,y) =7 /3()= 7 = 7、3业ar(X) Var(Y) -、(3/20)(5/9) - 5、3 - 15 ,(+3)五(8分)某人要测量甲、乙两地之间的距离，限于测量工具，他分成1200段进行测量，每段测量误差(单位：千米)相互独立,且都服从均匀分布U(-0.5,0.5),试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率。i= 1,2,.,1200 ,则 X，,乂200 独立同分£(X) =-0505 =()2分、(-0.5 - 0.5)2 1£>( X：)=“12122分解：设X,表示第，段的测量误差，布，且 XU(05 0.5),则1200显然，测量总误差为x = Zx,，由中心极限定理，所求概率为i=l1200P(|X|20)=P(ZX <20)/=11200=P(20 <XZ< 20)Z=1吊20 -1200 x 0小一20 -1200 x 0.，1 阿J 11200x1200 义_V 12 V 12=2 (2)1=0.95444分六(18分)设总体X服从几何分布，其分布列为P(X=x) = (lp)ip,x = l,2,其中0<<1为未知参数.X1,X2,X”为抽自总体X的样本,%1，%2,二为相应的样本观测值.(1)求参数P的矩估计；(2)求参数和EX的最大似然估计.解：由于 EX= 13分P令EX = Xn3 分解得p的矩估计为P= 13分X”似然函数为l(p)=n /(匹)=n p。一 p)s = p"。p)t 2 分i=li=l对数似然函数为nIn L(p) = z21rl p + (xj_72)ln(l_ p)2对求导并令其为零，得dinn t为一 =一上=01dpp 1- p解得p的最大似然估计为p= 12分京由于EX = J,因此EX的最大似然估计为=x2分八nPP七、（12分）已知一批滚珠的直径服从正态分布，其中标准差为0. 05（mm）现从中随机抽取了 16个，测得样本的平均直径为15. 025mmo问这一批滚珠的平均直径是否大于15mm?（检验水平=0. 05）解：假设"°:<15 ;乩：> 15 o选取检验统计量心构造拒绝域：Z>Z0,05 = 1.645计算得：Z J。" -於=20.05/4故拒绝“。，可以认为这一批滚珠的平均直径大于15mm。4
