分形几何趣味谈.docx

分形几何趣味谈数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的图象多是一些圆锥曲线、线段组合，受认识主客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为特征。这样说并非要否认欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。进入20世纪以后，科学的开展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。美国数学家BRIande1brot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规那么的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。实际上，数学家们很早就认识到，有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。但那时解决方法是讨论具备什么条件的曲线有长度。而没有长度的曲线就没有深入研究。此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何。下面是Kohn克赫）曲线。谢宾斯奇fw.Sierpinski,1882-1969）构造了谢氏曲线、地毯、海绵。皮亚诺（Peano）曲线1975年，Mande1brot在其？自然界中的分形几何？一书中引入了分形（fracta1）这一概念。从字面意义上讲，fracta1是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括MandeIbrOt的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点：1）具有无限精细的结构；比例自相似性;（3）一般它的分数维大子它的拓扑维数；（4）可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生。据说，南非海岸线的维数是102,英国西岸的维数是125。分形无处不在。分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规那么运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规那么碰撞（每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的局部，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2,大大高于它的拓扑维数1在某些电化学反响中，电极附近成绩的固态物质，以不规那么的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规那么的枝杈，每个枝杈继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从1公里到IOoO公里的无标度区。小于1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于IOOO公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。