第七章线性变换综合练习解答.docx
第七章线性变换综合练习一、单选题1 .维线性空间丫的线性变换。有个不同的特征值，是。与对角矩阵相似的（A）A.充分而非必要条件；B.必要而非充分条件；C.充分必要条件；D.既非充分也非必要条件.2 .矩阵A与8相似，则下列描述中不正确的是（D）A.=B;B./（幻是数域尸上的多项式，则/（4）/；C.R（A）=K（3）；D.A与B一定相似于对角形矩阵.3 .阶矩阵4有个不同的特征根是A与对角矩阵相似的（A）A.充分而非必要条件；B必要而非充分条件；C.充分必要条件；D.既非充分也非必要条件.4 .令4=（4/，当）是R3的任意向量，则映射（B）是R3的线性变换。A.）=+a,aO;B.）=（2x,+x2+x3,x2+x3,0）e9C.p（4）二（七，君，W）；D.w（）=（cosx1,cosx2,0）110'5.设。,乙片3是线性空间V的一组基，线性变换。在此基下矩阵为10-1,则。在0114,曷，2殳下的矩阵为（B）1-1I-10210210210-112A.1-10B.012C.0D.1-100121-102201201-1_22J26.设3阶矩阵A的特征值为1,3,5,则A的行列式IA1等于（D）A.3;B.4;C.9;D.157.设AB均为n阶矩阵,且AB相似，则下列结论正确的是（D）8. A.AB有相同的特征值和特征向量；B.AE-A=AE-B;9. A为n阶可逆矩阵，4是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A*的特征根之一是(B)A.r'4;B.21A;C.A;D.幽”10. /1=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(3A2)T有一个特征值是(B)A4C3-IC1A.;B一;C;D一342411. n阶矩阵A相似于某对角矩阵，则(D)A.r(A)=n;B.A有不同的特征值；C.A是实对称矩阵；D.A有F个线性无关的特征向量12. 下列结论正确的是(D)A.(AE-A)X=0的解向量都是A的属于;I的特征向量；B.如果。是A的属于；I的特征向量，则的倍向量Za也是A的属于4的特征向量；C.如果,夕都是A的属于丸的特征向量，则其线性组合Ka+心£也是A的属于4的特征向量；D.如果,夕都是A的属于两个互异特征值的特征向量，则,/线性无关.12.设阶矩阵A有一个特征根是2,对应的特征值是看，下列等式中错误的是(C).A.A=2;B.A=；C.A=2；D.A2=4,二.填空题'010、1线性空间/乩上的线性变换bG)=/(力关于它的基1,x,的矩阵是002。0W(2、(-2>2 .设线性变换。在基与名下的矩阵是，则。在基马，马+名下的矩阵是Ck2-1J2IJ3 .在由函数1,Rd生成的子空间V=1(I,苍，)中，微商变换b(x)=uf(x)关于基1,x,/下的rO10、矩阵是Ooo.W。b4 .：R2R2,(x9y)=(-2x+,y,0)；：R2R2f工(x,y)=(-3y,x+y)则(b+)(x,y)=(-2x-2y,x+y).()(x,y)=(0,-2x+y).(-2)(x,y)=(4x-2y.0)5.,r1(V),句用，%是V的一组基，。与在该基下的矩阵分别为A和3,则b?+3z和bd在该基下的矩阵分别为A2+3B和二空.6.线性空间P3中的线性变换(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1),那么。关于基r2-10、二(1,0,0),/=(0,1,0),53=(OO1)的矩阵是011JO(J7.线性空间丫的任意线性变换。，都有b(0)=0；(-a)=-().8 .是/×2上的线性变换，若O(A)T7<io,则(-3A)=-3-21、0-30,(db、9 .在尸2x2中定义线性变换。为：Cr(X)=X(cd)写出在基&,42,E21，七22下的矩阵7080、OoObCodOWCo巴'1-110 .若A=-I0、°°0)(1k0与B-10J。欠11.设矩阵A=与矩阵B=y)I23j相似，则X=,y=()43-12.设A是一个3X3矩阵，如果2,-3,一1是A的特征值，则矩阵B=A2-3A+E的特征值为T,19,5,行列式恸=-95.13.若4级矩阵A与8相似，且矩阵A的特征值为提，；，；,则行列式WJ目=24.14 .阶方阵A满足A?=A,则A的特征值为0,1.15 .已知线性变换。满足=b,则。的特征值为0,1.16 .设A是级矩阵，%,4,人是A的全部特征值,/(x)=x3-2,则/(A)的全部特征值是213-2,V-2,27-2.17.。是数域P上3维线性空间V的线性变换，特征值为1,2,-3,则。的逆变换的特征值三、计算题(11设A=23T1)f24-2与B=O-3(000、20相似.0bZ(1)求力的值;(2)求可逆矩阵T,使TdAT=B.解：(1)已知A与B相似，则有A=B,trA=trB即得方程组6a-4b=65+=4+Z?(2)由(1)A的特征根为4=4=2,A3=6x1+x2-X3=0对4=4=2,解方程组(；IE-A)X=0,BP-2x1-2x2+23=03x1+32-3x3=O得基础解系G=(T,10),¾=(1,0,1)；5x1+x2-x3=O对4=6,解方程组GIE-A)X=O,即卜2石+2/+2/=0得基础解系a=Ii,-,1h3+32+x3=O2则令T=io-,则尸Ar=b.OO1卜'是尸的一个线性变换且。)，'x+2y+2z、=2x+y+2z2x+2y+z,求。在标准基下的矩阵;求的特征值与特征向量；并判断。是否可对角化.解：一的标准基是0=(1,0,0),=(0,1,0),f3=(0,0,1)由已知b(1)=(122),(¾)=(22),(¾)=(2,2,1),rI22、则。在标准基下的矩阵是；A=212.22J(2)/1(2)=2-A=(-5)(+1)2,A的特征值为21=5,2=A3=-14x1-2x2-2x3=0对4=5,解方程组(XE-A)X=0,BP-2x1+4x2-2x3=0得基础解系=(1/,力-2x1-2x2+4x3=O则。的属于4=5的全部特征向量为(£玄攵)，k0-2x1-Ix2-2x3=O对a=4=7,解方程组(XE-A)X=O,BP-2x1-2x2-2x3=0-2x1-Ix2-2x3=O得基础解系4=(TJO),¾=(-1,0,1)则。的属于4=A3=-的全部特征向量为Ka1+&&，勺/2不全为零.因为有三个线性无关的特征向量，则。可以对角化.在基E11/E221/22下的矩阵。解囚JE11=3E11+cE2，A1EI?=aE口+cE22，41E21=bE11+dE>1>22=bEo+dE22,ZOb0、OO力故4在基E,E2,E2I,Ed下的矩阵为A1=oCOdO,OcO刈乂囚A2EI=aE11+bE12/2E2=11+dE2,A221=aE2+bE22，A2E22=CE+dE22/%CO0、bdOO故4在基E,E2,E,E”下的矩阵为A,=C八Ooac.00bd)又因A；E11=a2E+abEn+acE01+bcE22,A3E2=acE11+adp+c2E21+cdE,22A3E21=abE11+bE12+adE2+bd22>322=bcE1+bdE2+cdE21+dE22*&acabbe、,._t_1abadb2bd故人在基E,Eu,E,1,E”下的矩阵为A3=2Oaccadcd、bccdbdd24.设三维线性空间V上的线性变换A在基司,J，邑下的矩阵为a2“13、A=。22，f131。32a33>1)求A在基邑,J，名下的矩阵；2)求A在基4,改邑，邑下的矩阵，其中且；3)求A在基与+£2，£2，£3下的矩阵。解1)因一£3=03363+223/÷ai3»A62s323+。22*2+121,A8y=313+62212+，a33a32a3故A在基邑，4，£1下的矩阵为=%3a22ai。1。13a2aW2)因A£=向+-(S)+%向,k(k2)=kanx+a22(k2)*/9A鼻=卬3J+()+a333，故4在月,2，/下的矩阵为B?=aW及42T%“31ka323)因A(i+2)=(a11+ai2)(÷3)+(21+a22-au-ai2)2+(a31+a32)3,A2=a12(i+2)+(a22-ai2)2+a323,A£3=413(£|+*2)+(。23-013)12+。33*3'aa2a2a3故A基£+邑，？下的矩阵为A=a2+a22aU-a2a22a2。23一63、+。32a32a33rI42、6、设A=O-34,求A*。<43,-14-2解:因为ME-A1=0+3-4=(2-1)(2-5)(+5),0-4-3故A的特征值为4=1,4=5,4=-5,且A的属于特征值1的一个特征向量为XI=(1(),0),A的属于特征值5的一个特征向量为X2=(2,1,2),A的属于特征值.5的一个特征向量为X3=(1，-2,1)。rI21于是只要记T=(XI,X2，X3)=01-2k021r1O且B=O5*WOO、O(-5)p0则T-iAT=O5WOO=B,T)25a',1+(-1)+,5-'-i+4(-1)a25a,1+(-1)+,21Y1O1-2O5*21X()Op于是/=78"厂|=O、0=OOO-11_255255>5,4+(-1)a-P25,1+(-1)+,5k-,.4+(-1)a四.证明题1 .设(7为数域P上维线性空间V上的一个线性变换，且=b,证明：的特征值只能是1或0；证明：设%是。的任一个特征值，相应的特征向量是则arO,于是b(a)=cc,2cc=o-2(cr)=b()=cc即(A2)cc=0,ez0,则2=1或O2 .在线性空间pe1中，对Wa)S片幻4，令(x)=(x)+U),则。是Pw4的一个变换.(1)证明：。是尸幻4的一个线性变换；(2)证明
