一道避开洛必达法则的分类讨论端点效应题.docx

题：g(x)=相xe'-(w+1)x+In(X+1)>O在(O,÷)上恒成立，求实数团的取值范围.【解】g'(x)=w(x+1)er-(z÷1)+,g''(x)=m(x+2)ex!7,x+1(x+1)情形一当2机一10,即加,时，2g"")单调递增，且g"(0)=2m-10,，,(x)>,(0)=2h-10,gx)单调递增，g,(x)>g'(0)=0,g(x)单调递增，g(x)>g(O)=O,符合题意；情形二当2Z-I<0,即机<,时，2gff()单调递增，且g"(0)=2m-1<0,存在唯一的实数o>O,使得g"(%)=0在区间(0,与)上，有g'U)<0,g'(x)单调递减；在区间(%,+8)上，有g''(x)>O,g'(x)单调递增；又g<0)=0,于是gfM在(O,o)上恒有g,(x)<g'(0)=0,于是g(x)在(0,%)单调递减，g(x)<g(。)=。，不合题意，舍去.综上，实数Z的取值范围；,+8).