文 第12讲 导数的应用二 教案.docx

第十二讲导数的应用（二）适用学科数学适用年级高三（文）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点函数的单调性与导数函数的极值与导数用导数处理不等式恒成立问题教学目标1 .能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题.2 .会利用导数解决某些简单的实际问题.教学重点1 .利用极值或最值求解参数的取值范围2 .利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个数等教学难点利用导数证明不等式，解决有关不等式问题教学过程一、知识讲解考点/易错点1不等式恒成立问题的求解方法(1)由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是别离参数求最值，即要使a>g(x)恒成立，只需a2g(x)s,要使ag(x)恒成立，只需ag(x)i.另外，当参数不宜进行别离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)20恒成立，可求得f(x)的最小值h(a),令h(a)2O即可求出a的取值范围.(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.考点/易错点2利用导致研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.二、例题精析【例题1】【题干】当x0,求证->1+X【答案】见解析【解析】设函数/(x)=，-d+x),f,(x)=ex-当x>0时,>e°=1,.f'(x)=>-1>O故f(x)在0,4oo)递增,.当x0时，/(x)>/(0),又F(O)=/(1+0)=0,/./(x)>0,即/-+x)>0,故>1+x【例题2】InX【题干】/(x)=OX-InX,x(O,e,g(x)=-,其中e是自然常数，R.X(I)讨论。=1时，/(%)的单调性、极值；(id求证：在m的条件下，f()>g()+g;(III)是否存在实数，使/(幻的最小值是3,假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由。【答案】(I)在(0,1)上单调递减，在(1,«)上单调递增，极小值为/=1(II)见解析；(III)a=e21Y1【解析】(I),/(x)=x-1nx,f,(x)=1=:XX当O<x<1时,f,(x)<O,此时八幻单调递减；当1<x<e时，r(x)>O,此时/(x)单调递增，/a)的极小值为/(1)=1(11) .(x)的极小值为1,即/(幻在(0,e上的最小值为1,人，/、,、1InX1,/、I-Inx令MX)=g(x)+7=+-,=，2x2X当OVXCe时,h,(x)>0,在(0,e上单调递增在(1)的条件下，/(%)>g(x)+g(III)假设存在实数，使/(x)=Or-InX(x(O,eJ)有最小值3,当0时，f(x)在(0,e上单调递减，/()mM=(e)=4e1=3,4a=(舍去)，所以，此时F(X)无最小值.e当OV1Ve时，/a)在(0,3上单调递减，在(1,e上单调递增aaa/()mi=/(-)=1+Ina=3,=/,满足条件a当e时，/(X)在(0,e上单调递减，/()min=(e)="e-1=3,4a=-(舍去)，所以，此时F(X)无最小值.e综上，存在实数=/,使得当Xc(O,e时/(x)有最小值3.【题干】函数/(x)=0+5+d()是R上的奇函数，当X=I时f(x)取得极值2.(1)求/(x)的单调区间和极大值；(2)证明对任意石,与£(一1,1),不等式1/(%)一/(工2)1<4恒成立.【答案】(1)/V)在(-,-1),(1,+8)上是增函数,在(T,1)上是减函数(2J见解析【解析】(1)由奇函数定义，有/(一X)=/(x),xR.即一以3-CX+d=-axi-cx-d,:.d=0.因此，f(x)=ax3+cx,f,(x)=3ax2+c.由条件/(D=2为/(x).的极.值，必有U)=0,(a+c=2i故，解得a=1,c=-3.3。+C=O因此/(x)=-3x,fx)=3x2-3=3(x+I)(X-1),(-1)=,(D=0.当x(-oo,-1)时，/(X)>(),故/(X)在单调区间(-oo,-1)上是增函数.当x(-1,1)时，/(X)VO,故f(x)在单调区间(一1,1)上是减函数.当x(1,+)时,(x)>0,故/(x)在单调区间(1,÷oo)上是增函数.所以，f(x)在X=T处取得极大值，极大值为/(1)=2.(2)由知，f(x)=3-3x(x7,1)是减函数，且f(x)在一1,1上的最大值为例=/(-1)=2,最小值为7=/(1)=-2.所以，对任意,/w(T,D,恒有Ifa)-F(9)KM-机=2-(-2)=4.【题干】函数f(x)=x?ax+(a-1)InX,a02(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：假设。5,那么对任意x,X2t(0,+8),XX2,有"")一"'2)Xr2【答案】(1)=2时，/(幻在(0,+8)单调递增12时，/(x)在31,1)单调递减，在(O,-1),(1,+8)单调递增。2时J(X)在(IM-I)单调递减,在(O,1),(-1,+8)单调递增(2)见解析【解析】(1)/(X)的定义域为(0,+8)(D假设。-1=1即。=2.那么/(%)=('T,X故7(x)在(0,+)单调递增。(ii)假设。一Iv1,而。1,不(0,。-1)及%(1,+00)时故/0)在(。-1,1)单调递减(iii)假设,即。2在(0,1),(1-1+8)单调递增(2)考虑函数8。)=/。)+%=一1那么g,(x)=x-(a-)+故1<<2,那么当x(-1,1)时，f'(x)<O;)>(),在(OM-I),o)单调递增。,同理可得Fa)在(IM-I)单调递减，-X2-or+(«-1)Inx+X2Jxg-!-(6z-1)=1-(T-1)2由于1<a<5从而当%>.即F(X)/'XVX,故g'(x)>O,即g(x)在(4,+8)单调递增,>0时有g(%)g()>0，(xj÷x-X,>0,故/为.)/(士)>一1,当0内工2时,有)一"")=rU2)-(x1)iXr2/一%【题干】函数/(X)=Jar2-(2+1)x+21nx(R).(I)假设曲线y=f(x)在X=I和x=3处的切线互相平行，求的值；(II)求/")的单调区间；(III)设g(x)=2-2X,假设对任意X(0,2,均存在WW(0,2,使得/(M)Vg(S)，求。的取值范围.2【答案】(I)«=-3(II)当0时，/*)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+8)；当0<。<4，/(%)的单调递增区间是(0,2)和(2,+oo),单调递减区间是(2,1)；2aa当=g时，/(此的单调递增区间是(0,转)；当工时，/(X)的单调递增区间是(O,1)和(2,+oo),单调递减区间是(,2)Iaa2【解析】f,(x)=ax-(2a+1)+-(x>0).X2(I)/(1)=/(3),解得=当0时，x0,ax-<0,在区间(0,2)上,(x)>0;在区间(2,+oo)上T(X)VO,故/(%)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+8).当Ova,1>2,在区间(0,2)和(1,+oo)上,/()>0;2aa在区间(2)上f'3<0，a故/(%)的单调递增区间是(0,2)和(工,+8),单调递减区间是(2,1).aa当=1时Ja);(D-,故f(x)的单调递增区间是(0,+8).2Ix当时，0vv2,2a在区间(O,1)和(2,+8)上,z(x)>0;在区间d上八X)VO,aa故/(%)的单调递增区间是(0,1)和(2,o),单调递减区间是(工,2).(IH)由，在(0,2上有/(X)nmVg(X)nm由，g(x)max=°，由(I”可知，当g时，/(X)在(0,2上单调递增，故F(X)max=(2)=2-2(2+1)+21n2=-2-2+21n2，所以，-2-2+21n2v0,解得>1n2-1,故1n2-1<!.2当时，/*)在(0,占上单调递增，在己,2上单调递减，2aa故f(x)=()=-2-21n.a2a由>,可知1n0>1n工>1n'=-1,2na>-2,-2na<2,22e所以，一221nv0,/(x)max<0,综上所述，>1n2-1.【例题6】【题干】设函数f(x)=1nx+x,方程2mf(x)=2有唯一实数解，求正数m的值【答案】m=【解析】因为方程2mf(x)=2有唯一实数解，所以x?2InInx2mx=0有唯一实数解.设g(x)=2-2m1n-2mx,那么g'(x)=2x-2x-2m令g'(x)=0,即(-mxm=0.因为m>0,x>0,所以X1=%<0(舍去)，X2=2-当XW(O,X2)时,gr(x)<0,g(x)在(0,X2)上单调递减；当x,+8)时,g,(X)>0,g(x)在(X2,+r8)上单调递增；当X=X2时，g'(x2)=0,g(x)取最小值g(X2).n(x)=0fx2-,2m1nx2_2mx2=0因为2mf(x)=2有唯一实数解，那么占J-即12g(X2)=Ox2-mx2-m=0所以2m1nxz+mxzm=0.又因为m>0,所以21nx2+x2-1=0.()设函数h(x)=21nx+x1,当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为X2=1,即m+.+%,解得n=,.三、课堂运用【根底】1. f(x)=3-ax在1,+8)上是单调增函数，那么a的最大值是()A.OB.1C.2D.31答案】D【解析】F(x)=3-a20在1,+8)上恒成立，即3jf2在1,+8)上恒成立,而(3x)nin=3X1=3,.*.a3,故da=3.2 .函数F(X)=V-21n*,假设在定义域内存在刖，使得不等式，(一后O成立，那么实数加的最小值是【答案】1【解析】要使得不等式FUI)一后0成立，只需加2-(*).f,=2-2-=2(x1×x÷1),因为函数F(X)的定义域为(0,÷oo),xX当X(O,1)时,f<0,所以函数f(x)在区间(0,1)上是减函数；当x(1,+8)时,£()>0,所以函数F(X)在区间(1,+8)上是增函数.所以FeV)I1M=F(I)=1所以/»21.故实数勿的最小值为1.3 .设函数F(X)=££+/一胎：(D求f()的单调区