专题二 培优点8 向量极化恒等式 3.docx

培优点8向量极化恒等式极化恒等式：空-(守2.(+b)2(T)2k¾÷2|。一仟变式：ab4-4,ab4-4-如图，在AABC中，设M为BC的中点，则后启=疝2-2.例1(1)在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=IO,则布公=.答案T6解析如图所示，由极化恒等式，易得A8AC=AM2M¥=3252=-16.如图，在AABC中，。是BC的中点，E,尸是AO上的两个三等分点.ACA=4,BFCF=-1,则匠廷的值为.答案I解析设3O=OC=m,AE=EF=FD=Tiy则AQ=3.根据向量的极化恒等式,得ME=A52-m2=92_m2=4,FBFC=FD2-DB2=ZI2-ZW2=-1.513联立，解得/=&,病=学OOA-«>-A7因此EBEC=Ea-DB2=4/一m2=3O7即BECE=IO例2（1）已知AB为圆x2+）2=1的一条直径，点P为直线x-y+2=0上任意一点，则或两的最小值是.答案1解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，萩丽有最小值，即丽.而=赤一赤=（啦）2一F二1（2）如图所示，正方体ABCQ-A山CiS的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM-丽的取值范围是.答案0,2解析由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为21当弦脑V的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为。，则丽丽=户方2一加2=用2一.由于尸为正方体表面上的动点，故OP1,3,所以丽丽£0,2.能力提升利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.Ei跟踪演练1.已知正方形ABc。的面积为2,点尸在边AB上，则丽元的最大值是（）933A，2B.2C，2D.答案B解析如图所示，取Co的中点E,连接PE,由极化恒等式可得而正=后一声=亦一看D所以当P与A（B）重合时，Pfi=d最大，从而（而陌max=2.2.已知在AABC中，PO是边AB上一定点，满足PoB=且对于边AB上任一点P,恒有瓦的降.屈C,则（）A.ZABC=90oB.ZBAC=90oC.AB=ACD.AC=BC答案D解析如图所示，取AB的中点E,因为P由二%&所以Po为EB的中点，取BC的中点。则OR）为aCEB的中位线，DPq/CE.CZTKAPE.B根据向量的极化恒等式，有丽辰=丽2一旋，¾PbC=w>2-DB2.又丽正e¾Hb,则I而闫RbI恒成立，必有OJ1AB.因此CEJ_AB,又E为Ae的中点，所以AC=BC3 .如图所示，正方形ABCo的边长为1,A,O分别在X轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则历j勺最大值是.答案2解析如图，取8C的中点M,AZ）的中点N,连接MN,ON,则OC。8=0"一7因为OMWON+NM=j4D÷AB=,当且仅当。，N,M三点共线时取等号.所以无.历的最大值为2.4 .已知48是圆。的直径，AB长为2,C是圆0上异于A,B的一点,P是圆。所在平面上任意一点，则（丽+丽）正的最小值是.答案解析如图所示,取OC的中点。,连接PD,因为。为AB中点，所以（或+崩）户3=2元正,由极化恒等式得历辰=而一赤=而一；，因此当P为。中点时，即I丽=0时，（M+正取得最小值毛