第七章矩阵函数.docx

第七章矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。§7.1矩阵序列与极限本章中数域F均指R（或C）,所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。我们把”阶矩阵序列A，A2,，4，,简记为,其中显然，一个X，阶矩阵序列AJ（a,Ci）中各矩阵的所有对应位置构成“个数列W）,其中磅）C（iJ=12定义1设矩阵序列（攵=1,2,.）,其中4=（靖）支,若小个数列国力=1,2,.）都收敛，即存在数C,使得!吧甯）=aij,ZJ=1,2,.,?则称矩阵序列4是收敛的，并把矩阵A=（%wb称为的极限，或称矩阵序列收敛于A,简记为IimAt=A或AgfA（k）AToo若这X个数列或）（仃=1,2,.,）中至少有一个不收敛，则称矩阵序列4是发散的。例1讨论2x2阶矩阵序列出和电的敛散性，其中解因为1im(1+=¢,1im-=O,im"J=0,故有Jtookoo卜k卜HmA=1：9,即矩阵序列4是收敛的。又因为数列的*oe,01极限不存在，故矩阵序列应是发散的。若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于“个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。定理1”阶矩阵序列4收敛于矩阵AEc-的充要条件是!则&"|卜0,其中范数I1I1为任一种矩阵范数。证明由矩阵范数的等价性可知，必存在实数aK>o,使得对于任意的矩阵BCX都有P11PIIPIi故有4-a1a-a2a-a%即可通过矩阵的犯范数来进行定理证明。必要性。设州&=A,由定义1可知，对于每一个3都有AIimaf)=%,即ooJIim1a广一为=0,i,j=1,2,ocjj于是jao-¾=°KTi=j=即!Ia<-<=0故有对于矩阵的任意范数II都有切-A=o充分性。因为1imA-4=0,则有1im-A=Iim1-aij=0o因此，对于每一个"都有f=1=1IimW-4|二0JtCjj此即Iim甯)=aij,ZJ=1,2,.,W于是IimA.=AJtA根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。定理2若矩阵序列h收敛，则其极限是唯一的。证明假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设X阶矩阵序列4收敛于矩阵A=，同时收敛于矩阵B=()C1×S且A80则至少存在一组仃，使得为咽，其中3=1,2,.,。即对于数列W)来说有!吧若)=%且!吧若这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。由于矩阵序列m收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。定理3若矩阵序列4收敛，则此矩阵序列有界。即存在正数M,使得对一切女都有I1AIIM0证明设序列4收敛于A,即IimI1A-AII=O,亦即对koo>0,存在N>0,使得QN时，有IIA-AIKf0从而Aj=A-4÷A-A÷<o+h其中，kN+o取M=max，|闯，,4汹+&，即有1M次=1,2,.利用数列收敛的概念和定理1,容易得到矩阵序列如下的性质。(1)设1im4=A,YmBk=B,其中&C?线C"x",则Jto1toohm(aAk-Bk)=aA+B二,夕CJITQo设即14=A,Jm线=3,其中AC?纥C'则ooIimA耳=ABk(3)设IimA=A,RAkECniin9P9QeCniin9则ooUmPAkQ=PAQ(4)设尸4=4,且4,4均可逆，则矩阵序列短也收敛，且JtIimA,=AToF证明(1)因为aAk+Bk)-(aA+B)=(A,-A)+7(Ba-B)%-小+1忸一邸0()故1im(aA.+Bk)=aA+BajCA(2)由于kBk-AB=kBk-ABABk-AB-Ah÷-B又由已知条件可知IimI1&-A11=O,阿|煤-明|=0,再由|/|有界,kcckoo故知1im4B,-ABII=OA0>IimA.B.=ABAT8由，令B1Q,则Jim甲=。,故有Jim(AQ)=AQ。ATOOJ1o再将P看成4,4。看成线,则有IimpAQ=PA°。(4)因为此时detA工0,detA0,(无=1,2,.)设adjA为A的伴随矩阵，则有Iimdet4=detAIimadjA.=adjAJ10cHmAj=Iim"=也=I*5°isdetAkdetA注：性质中的A的可逆性是不可少的，因为儿的可逆不能保证A一定可逆。例2讨论矩阵序列4=J：1的收敛性及其极限的可逆11性。解答显然每个4都是可逆的，且4=;广。而4的极限为11IimA.=Ak11它是不可逆的。定理4设4=4，P=WRE,且44,p,则矩阵序列收敛。证明先证对角线上元素序列收敛。由已知条件有，对任意的工，有xAkxX1AkxX1Px取X=勺=（0,0,0,1,0,.0）丁（=1,2,.）,即第，个位置为19其余位置均为0,代入上式得（设A=（或），P=（P指,NamPji，（i=1,2,.）故。俨的极限存在。再证一般的元素序列嫉）收敛（，打）。将上面的X换成x=q+S(/=1,2,.),得心）+婢+喈+孀=Sar加（尸）+）+2磅用Pa+Pjj+Pij,/=1,2,.,，ij,A:=1,2,.）故.）+4+2端）收敛。再由寓）和琮都收敛知嬉收敛，因此Iim4存在。<c现在考虑由矩阵AeC-的塞所构成的矩阵序列AN*.M.的收敛性。定理5设矩阵A-贝IJym屋=OE的充耍条件是p（A）<1o证明设4的八成标准形为j=diag(j1()2(),-r(4)且存在可逆变换乙使得A=vr其中特征值4所对应的Jordan块)具有如下形式4'Ji2WJiW=(/=1,2,r),4(4).叫X叫且A1JijW(Z=1,2,rj=1,2,ai)i17×<表示矩阵A的互异特征值的个数，/表示特征值4所对应的代数重复度，且有£叫=，%表示特征值人所对应的Jordan子块的个数，表示特征值4所对应的第7个如加子块的维数。于是AJTdiagQXAI)/(4),J(4)广显然TimAJ%的充要条件是阿不（4）=0,i=12,八又因为>%（4）/（4）-JfW=(7-1)我们把子块4（4）分解成两项Jiji)=iEdj,+Ug其中0101Uij=Jij(O)=.-，=1,2,“=1,2,5.)这个矩阵有一个很好的性质，即火的塞次每增加1次，主对角线上方这排1就向右上方平移一次，特别有000100-0于是由二项式定理有G(4)=4%+UJ%WCy片C；中=OC"k1,jdij×d1j(7-2)其中1kk/!C,k=O1>kz=1,2,-,r;J=1,2,.于是四片=。的充要条件是!吧J")=。&M，I；,",)=1,2,此，而Iim4a,.)=的充要条件是IAK1o因此刖4=0Xn的充要条件是P(A)<1。推论设矩阵AWc1若存在矩阵范数H，使得同<1，则JmA"=O"oo例3判别矩阵序列屋的敛散性。12-460-(1)%=3,A=；,(3)A=-3-500-3-61_6J146J1解因为矩阵A的特征值为44<1,4=黄1,故有3op(A)<1,因此由定理5有序列5收敛,且JmAJO,.oo(2)有时也不必求出矩阵的所有特征值才能确定P(A)与1的大小关系。由于M111m<1,由定理5的推论知序列屋收敛,且Jm屋=OWotok(3)简单求解得矩阵A的特征值分别为4=4=1，4=-2,因此有P(A)=2>1。所以序列屋发散。由定理5的证明过程，不难得出当P(A)>1时，矩阵序列屋发散。因为P(A)>1,则至少存在一个4>1,则由"(4)")的具体形式可知其对角线元素构成的数列M发散，故矩阵序列小4)发散，从而屋发散。11O-例4设矩阵A=010,试判断序列小的敛散性。0-11解简单求解得矩阵A的特征值分别为4=4=4=1,则有矩阵A的谱半径P(A)=1,此时利用定理5及其推论无法判断序列AA的敛散性，但可按照定理5的证明思路来分析。首先求得矩阵A的场力助标准形为-1J=111即存在可逆阵T,使得A=TV1,从而有"1Ak=T1kTi1因此有1IimAk=TIim1kT1+>1所以小发散。-a0.3aa例5设矩阵A=。22，则讨论。取何值时序列屋OO0.5«收敛于。“o解求得矩阵A的特征值分别为4=W4=20,4=0.5，故有A的谱半径2(A)=2由本节定理5有，当C时，矩阵序列小收敛于八3。§7.2矩阵骞级数本节我们将给出矩阵级数的定义，并利用矩阵序列极限的概念讨论级数收敛及其相应的性质。这些内容会给矩阵函数的研究，微分方程的求解等问题带来方便。7.2.1 矩阵级数的概念和性质定义1设或RE)是一个矩阵序列，则称其无穷+o=A1÷A2+A”+A=I+为矩阵级数，常简记为4.对于任意正整数，定义矩阵J1=I级数的前项部分和为S"=4=A+a2+*=1若由S.5=1,2,）构成的矩阵序列Sz,收敛，且有皿Szt=S,则称矩阵级数五4人收敛，且有Ea=So若矩阵序列SJ发散，称矩=1k=阵级数之4发散。+00定义2设Z4为Cr（或r”）中的矩阵级数，若对某矩阵J1=I范数II，正项数项级数1AiII=IIA111+11A211+AJ+=1收敛，则称矩阵级数绝对收敛。A=I根据矩阵范数的等价性可知，这里的矩阵范数H1是任意的。定理1矩阵级数£A,（4=（磅XJ收敛的充分必要条件*=1+是对任意的仃，数项级数端收敛，其中仃=12Jt=I