教学教案《一元二次不等式及其解法》参考教案.docx
23一元二次不等式及其解法教学目标1>知识与技能（I）从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；（2）应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；（3）能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来.2、过程与方法通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来.3、情感态度与价值观培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用.教学重难点从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.教学过程（一）新课导入问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24阴，围成的矩形区域的面积要大于20M,则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为初则另一条边长为（12-x）由题意，得（12-x）>20,其中Wx0<x<12）.整理得2-12x+20<0,xx0<x<12.求得不等式的解集，就得到了问题的答案.（二）新课讲授考察下面含未知数X的不等式：x2-12x+20<0.这个不等式有个共同特点：(I)含有一个未知数X；(2)未知数的最高次数为2.一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.一元二次不等式/(x)>0,或/(x)<0(W0)的解集，就是分别使二次函数F(X)的函数值为正值或负值时自变量X的取值的集合.一元二次方程/(x)=0(W0)的解集，就是使二次函数/(x)为零时自变量X的取值的集合.因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系.探究一：一元二次不等式的解法我们来考察它与其所对的二次函数y=f-12x+2O的关系：当XV2,或x>10时，y>0.当或=10时，y=0.当2VV10时，j<0.那么对于一般的不等式。F+法+c>o或加+x+c<o(其中>o)又怎样去寻求解集呢？一元二次不等式的解法=bi-AacJ>0J=OJ<0y=a-b-c(a>0)的图象AFUOXax+bx+c=0(>0)的根有两相异实根Xi，X2(X1<X2)有两相等实根bX1=X2=2a没有实数根ox2÷>÷c>0(。0)的解集xIX<JC或X>X2一刍乙aRr2÷Zzxc<0(>0)的解集xx<X<JC200(三)例题探究例1求不等式f-5x+60>0的解集.分析：因为方程r25x+6=0的根是函数尸2-5x+6的零点，所以先求出f-5x+6=0的根，再根据函数图象得到F-5x+6>0的解集.解：对于方程X2-5x+6=0,因为>(),所以它有两个实数根.解得XI=2,X2=3.画出二次函数X2-5x+6的图象，结合图象得不等式X2-5x+6>0的解集为xv2,5gx>3.例2求不等式9x26x+1>0的解集.解：对于方程9f-6x+1=0,因为4=0,所以它有两个相等的实数根,解得由="2=一画出二次函数y=9f6x+1的图象，结合图象得不等式9x26x+1>0的解集为小£一.例3求不等式-f+2x-3>O的解集.解：不等式可化为/-2x+3v.因为=-8<0,所以方程f-2x+3=0无实数根.画出二次函数产2-2x+3的图象.结合图象得不等式X2-2x+3<0的解集为0.因此，原不等式的解集为必图2.3-2跟踪训练1解下列不等式：4-4x÷1>0;(2)2Z-3-20;(3)-+2-3>0;解：(1)因为4=(-4)24X4X1=O,所以方程4x-4x+1=0的解是XI=X2=g,所以原不等式的解集为卜IXWT.(2) *.,2x"-3x2=0的两解为XI=亍X2=2f且=2>0,.，不等式2x一3x220的解集是(X1x-5或x22.(3)不等式可化为f-2x+3<0.因为/C0,方程f-2x+3=0无实数解，而y=f-2+3的图象开口向上，所以原不等式的解集是。.探究二：分式不等式的解法一般的分式不等式的同解变形法则：一可(X)g(x)>O;一WoO；(3) 2o.X-I-2-1例4解不等式：(1)fx-<O;(2)42.1x-*+24+2(1)由1<0得一7>0,此不等式等价于(x+2)-1)>O, 原不等式的解集为RX<2或x>1).(2)法一：移项得目一2WO,左边通分并化简有二0,即W20,-X-1它的同解不等式为一"M2或x25.U-20, 原不等式的解集为xx<2或x25.-2>0,法二：原不等式可化为三20,此不等式等价于C二'$V。12<0,或'解得彳25,解得x<2,原不等式的解集为x*2或x25. 跟踪训练2解不等式：=.E”x+2x3WO,n2Wx<3. 原不等式的解集为x-2x<3.Ox-1QV9原不等式可化为KT>0,即"百©等价于(3x2)(4x3)<0.,<.原不等式的解集为卜*求空探究三：不等式恒成立问题例5关于式的不等式（1+a）f+a+wvf+对XWR恒成立，求实数机的取值范围.解：原不等式等价于"/+wu+m-1<0,对XWR恒成立，当?=0时，0f+o.-v对XER恒成立.当小#0时，由题意，得Jt<0,Jff<0,=m-4mm1<013/4加>0卬V0,a4<m<0.RV0,或初可综上，加的取值范围为7Z0.注：不等式对任意实数X恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式0+bx+c>0,它的解集为R的条件为a>0,4="4acV0;a>0,=4-4acW0;D、j-一元二次不等式r2+p+c0的解集为R的条件为,h<0,一元二次不等式r2+c>0的解集为。的条件为一1z10.跟踪训练3若关于X的不等式+2x+2>0在R上恒成立，求实数。的取值范围.解：当。=0时，原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故=0不满足题意，舍去;当时，要使原不等式的解集为R,只需a>0fzj=22-4×2a<0,综上，所求实数。的取值范围为七，+8）.（四）课堂检测1、不等式-6f-+20的解集是（）答案：B解析：V62-+20,6x2÷-20,、,1a2(2x1)(3x+2)20,.x25或x-2、已知不等式f+”+4V0的解集为空集，则的取值范围是()A、-4a4B、-4<a<4C、oW-4或24D、。<-4或白>4解析：选4依题意应有/=/一160,解得一4<4,故选Af+13、不等式;一W3的解集为_.*+1x+12,X11解析：-3<=>30=->0<=>x(2-1)20且xO<=><O或x>1答案：卜/xV0或心不4、你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600n的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为.Im,则另一边的长为(50-)m,且0V<50.由题意，得围成矩形的面积S=x(50r)>600,即d-50+600<0,解得20VV30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600的矩形.(五)课堂总结1、解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：OX2+0+c>0(a>0)或Or2+b+c<o(>o)；求方程+bx+c=O(>O)的根，并画出对应函数y=d+力x+c图象的简图；由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m<n时f若(-m)(-n)>0,则可得或x<m；若(-i)(%)<0,则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2、含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数0,水0,=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(4>0),一根(4=0),无根(ZK0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：m>m,x.=x2,1<2.3、解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.4、对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(D若FG)有最大值/(),w,则。»(x)恒成立=。»3,总：若/(x)有最小值/(x)min，则<(x)恒成立Qager)min.5、解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为居用X来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.教学反思略.
