导数系统班11隐零点之零点代换.docx

第十一讲隐零点之零点代换知识与方法在研究函数单调性时，常常会遇到广(力零点不可求的情形，此时可先论证r(x)有零点，再虚设零点，最后运用零点代换，化简函数极值的策略来解决问题，这是隐零点问题常用的处理方法.隐零点的零点代换处理策略被广泛应用于零点讨论、不等式证明、求最值等各种题型中，是零点不可求问题中一个必备的基本处理方法，真题中也十分常见.典型例题【例1】设函数f(x)=e-0),证明：/(x)>0.证法1：由题意，/'(X)="1=,设g(x)=w<2(x>0),则g'(x)=(x+1)e'>O,所以g(x)在(O,>o)上单调递增，又g(x)=-2v,g="2>0,所以g(x)在(0,1)上有1个零点X0,且当OVX<七时，g(x)<O,所以/'(x)v,当x>0时，g(x)>O,所以(x)>0,从而/(x)在(0,%)上单调递减，在(%,+oo)上单调递增，故"Hmm=/(%)=*-21n%-2，因为g(o)=/*-2=O,所以淖=2,两边取对数xO2得：/=In=In2-Inx0,故InXo=In2-飞，代入式得/(xo)=A-2(1n2-xo)-2=-+2-21n2-2>2-2In2-2=2-21n2>0,从而F(X1n>。所以/()>0证法2：设(x)=ex-ex(x>0),则x)=ex-e,所以p'(x)>0ox>1,(x)<0<z>x<x<1,从而P(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故9(x)9=0,所以exex,故/(x)=a-2nx-2ex-2nx-2,设h(x)=ex-2nx-2(x>0),则hx)=e-=-,所以/(x)>0<*x>-,/(x)<00<x<,故(力在(0彳)上单调递减，在+8)上单调递增，从而(x)-=¢×-21n-2=2-2×(In2-1)-2=2-21n2>0,因为f(x)Mx),所以/(x)>0.证法3：r(x)=1nx-x+1(x>0),则/()=1-i=上N,所以/()>OoOVXv1,XX(x)<0<=>x>1,从而r(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,故r(x)r=0,所以InXx-1,故f(x)=-21nj-2ex-2(x-1)-2=ex-2x,设f(j)=ex-2x(x>),则f'(x)=e*-2,所以/(x)>0ox>In2,r(x)<0o0<x<In2,故E(X)在(0,In2)上单调递减，在(1n2,+0o)上单调递增，从而/(x)f(1n2)=*2-21n2=2-21n2>0,因为/(x)(x),所以/(x)>0.证法4：易证e'rer,1nxx-1,所以/(x)=e*21nx-2ex2(x-1)2=(e-2)x>0.【例2】设函数=一3一,其中eR,e是自然对数的底数.(1)当=0时，求”的最小值：(2)当=e时，设力的极小值点为%,证明：-2<f(x0)<-2.【解析】(1)当=0时，f(x)=ex-x-,f,(x)=ex,所以/"(x)>0ox>0,/z(x)<0<=>x<0,从而/(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,+co)上单调递增，故Wmi=(0)=0(2)当a=e时,/(x)=e*-枭2,f,x)e-ex-1,fn(x)=ex-e,所以广(x)>0u>x>1，/ff(x)<0<z>x<1,从而/'(X)在(-oo,1上单调递减，在1,+oo)上单调递增,X(0)=0,(1)=-1<0,f,(2)=e2-2e-1>0t所以/")在R上有两个零点X=O和f,其中(1,2),且当xw(-,0)时，,(x)>0,当x(0")时，,(x)<0,当XW(I,+oo)时，f,(x)>Of从而在(-,0)上单调递增，在(V)上单调递减，在&芹)上单调递增，故X=Z是函数/(X)唯一的极小值点，所以0=f,从而/&)=/。)="一/2一1,由于f(1,2),且f(x)在(IJ)上递减，所以/Q)v/=1一2,另一方面，f,(t)=et-er-1=0,故/=e+1,所以f(f)=e+1-2-r-1=r2÷(e-1)/»易知二次函数y=-+(e-1)f在(1,2)上单调递减，所以/(r)>-×22+(e-1)×2=-2,综上所述，-2<(z)<-2,即-2<(%)<-2.【反思】遇到零点不可求的情形时，可虚设零点，运用零点代换，化简函数极值的策略来解决问题，这是隐零点问题常用的处理方法.例如在本题中，广(另有一个零点不可求，我们采取的是设该零点为3利用广(。=O去化简/(。，再证不等式的方法来处理问题.【例3】已知x)="+0/'")是/(x)的导函数，其中R(1)当>0时，证明：存在唯一的XOd-A,0),使得f'(*=0;(2)若存在实数、b,使得)h恒成立，求a-的最小值.【解析】(1)由题意，r(x)=+2以，ff(x)=ex+2at当a>0时，尸(力>0,所以f'(x)在R上单调递增,因为r="97<o,r(°)=>°,所以存在唯一的Me,5,o),使得r(%)=o.(2)当av时，对任意的x<招,f(x)=ex+ax2<+ax2<+a-=1-Z>-11-(1-Z>)=Z>,所以对任意的实数6,/(x)b不可能恒成立；当a=0时，f(x)=ex,要使/(x)6恒成立，只需b0,所以a-匕=0,当。>0时，由(1)可得存在唯一的XOd-A,o)使得r(*=o,且r(x)>O=x>o,(x)<O<z>x<xo,所以/(X)在(-00,%)上单调递减，在(%0，+8)上单调递增，从而/(力而=/(%)=广+应，因为/(X)泊恒成立，所以淖+竭泊，故a-ba-e-ax1®,又（飞）=*+2”=O,所以=£-,代入不等式可得片，整理得：a-b史淖，设g()=士萨11(<o),则g<)=，-；+e'=("?¢+1)，所以/(X)>O=_1<X<O,g<x)<O=x<-1,故g(x)在(o,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，从而II1ag(x)g(-1)=，所以a-6g(xo)，当=,6=二时取等号，综上所述，a-beeIeIe的最小值为-1e强化训练1.已知函数/(x)=.e*+±!1-2(+1),x>0,其中eR.(I)当=1时，证明：/(x)有最小值机且机>0；4+7>。，(2)设4>0,且/(x)0恒成立，求的取值范围.【解析】(1)当=1时，/(x)=F+W-4(x>0),所以广(力=-一弓,从而r(x)在(0,+oo)上单调递增，又/(；)=衣8<0,(1)=e-2>0,所以f'(x)有唯一的零点/且Xoe(T,1),当x(O,o)时，,(x)<0,故f(x)单调递减，当x(/,+oo)时，(x)>O,故外力单调递增，所以“力有最小值机，且m=f(x0)=e'"+2-4,由xO9O/优)=6。_彳=0可得/=彳，XoII而42/22/-4片+2毛+22(x0-1)(2x0+1)(A从而帆=e%+4=+4=-F2-=-,因为AOe二，所XoXoXO-2)以%>0.(2)由题意，>0,r()=ad-燮，/(=叱+当由>0,所以广在(0,+)上单调递增，当X>max1,In土时，/'(x)=e*-土?>4e*-(+1)=,，一>0,又/(!J="五一4("+I)=(G-4)"4v0,所以/'(X)在(0,+oo)Jt有唯一的零点设为X1,则/'(x)<O=OVXVX,/,(x)>0<=>x>x1,故/(x)在(0,占)上单调递减,在(X,+)上单调递增，所以/(力mm=/($)=÷-2(+1)0,xI因为尸(内)=八一与=0,所以Q-=与，代入式可得号+±1-2(+1)0,XX1斗X所以41-2O,结合M>0可解得：0<内1,由四U=/可得1=x；F一1,1x1Xfa显然当OVXI1时，-1e-1,-<-e-,又0>0,所以1>0,故0<!e-1,¼W-,所以实数。的取值范围是J-,+aae-_e-)2 .己知函数/(x)=(aF满足f(x)O对任意的XtR恒成立，其中e为自然对数的底数.(1)求a的值；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点与，且0v(i)</【解析】(1)由题意，fO>aex-a-x)exO>aex-a-xO,设g(x)="-x(xeR),则/(力=46、-1,且g(x)O恒成立,当0时，显然对任意的x>0,g(x)=ae-a-x=a(e-i-x<O,不合题意;当白>0时，g,(x)>O<=>x>1n-,<O<=>x<In»所以g(x)在(to,Ing上单调递减，在卜ng,o)上单调递增,从而g()nin=I1=a-a-n-=-a+na,因为g(x)O恒成立，所以I-6t+1n0»设0()=1-4+1n(>0),则,(a)=-1+-=-»所以"()>OoO<<1,"()<0o>1,从而e()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，故*()e(1)=0,即1-a+1n40，结合可得只能1-+1n=0,且此时=1,综上所述，实数”的值为1.(2)由(1)可得/(x)=(F-1-He所以r(力=卜，-1)8+(-1一到d=(2-4-2)8,设h(x)=2ex-x-2(xR),则hx)=2ex,所以,(x)>0<>x>In,Z(x)<O<x<1n1,从而MX)在卜0,叫上单调递减，在同,H)上单调递增，故(x)m,n=MIng)=2/2-in1-2=1n2-1<0,因为(-2)=Ie2>O,所以MX)在Ring)上有一个零点，记作兀，又MO)=0,所以MX)共有所和。这2个零点，且MX)>Oox<毛或x>0,(x)<O<=>o<x<0,从而f'(x)>O=x<%或x>0,z(x)<O<=>xo<x<0,故/(x)在(-8,%)上单调递增，在小,0)上单调递减，在(0,a)上单调递增，所以“力有唯一的极大值点/，且/()=(-I-AO卜"，因为M%)=2*-AO-2=0,所以*=当匚，代入化简得：/(0)=-±,因为2<v1n5,所以1vX。+1V1In2,从而0(x0+1)<1»故T片+2%=伉+1)2-1<0,所以0<一史卢显然MT)二2二一1/0,所以b-1,从而丁丁。T0<-vo21,所以o<(%)v(.3 .已知函数/(x)=e*-Inx-Ina(1)若=1求函数f(%)的极值;e(2)若当x>0时，/(x),求。的取值范围.【解析】(1)若=1则/(x)=ei-1nx+1(x>0),f(x=ex-,eX当OVXV1时，ev-,<1,1>1,所以r(x)<0;当x>1时，ex,>1,-<f所以/(力>0,XX从而无)在(0,1)上单调递减，在(1,÷)上单调递增，故/(x)有极小值"1)=2,无极大值.(2)由题意，>0,f,(x)=aex-,/"(x)=ae