作业10 2.docx

专题训练作业（十）第一次作业数列大题（一）1.（2023唐山三模）若数列为及瓦满足且=1,b=6.。+|=。+可与，Nbn+=3%+b”+3,wN",（1）证明：乩=3斯+3（kWN"）;（2）求数列%和'的通项公式.解析（1）证明：Z"+=m+3”,儿+=3m+力+35N*）,bn+3。“+1I3,，当且N*时，有。=3知+3,又=1,b=6,也满足1=3+3,，对任意的N",都有b*=3%+3.将bzt=30zj+3代入%+1=%+5瓦,得。+=2斯+1,进而0f+1=2(azt+1),671+1=2,，数列小+1是首项为2,公比也为2的等比数列，.z1+1=2",则小=2"-1.儿=3%+3=32".2. (2023.石家庄一检)公差不为0的等差数列/中，前项和记为S”.若=1,且S”2S2,4S4成等比数列.(1)求%的通项公式；求数歹4言一:的前项和T11.解析(1)设等差数列知的公差为d(dO),由已知可得4S22=S><4S4,即(2+4=IX(4+6,解得d=0(舍去)或d=2,所以an=2n1.(2)由(1)可得S,=",圻J斯+2+I11'S5+2×(÷1)2W2(n÷1)2，所以B(-?)+-)+(-)+(Ji)2-+-(J1)2=1-1_4+2k(n+1)2(+D2,3. (2023.雅礼中学一模)设数列的前项和为S“，且S“=2"1数列d满足加=2,h11+-2b1=Sa11.(1)求数列斯的通项公式；(2)求数列九的前项和Tn.解析(1)当=1时，=S=2,-1=1,当心2时，an=Sn-Sn-=(2n-)-(2n1-1)=2n-2n'i=2ni9a=也满足az1=2"-,因此，数列为的通项公式为a=211(2)»”+|2儿=8斯=2"+2,等式两边同时除以2口得翁一拿=2,且9=1,数列留是以1为首项，以2为公差的等差数列，；拿=1÷2(n1)=2/71,也=(211)2".=1×2,+3×22÷5×234t-(2n-1)2rt,则2Tn=1×22+3×23+÷(2-3)2n+(2n-1)2rt+1,两式相减得一71=2+2X22+2X23+2X2"-(2n1)2""23(12,1-1)=2+j7(2w-1)2z,*1=(3-2)2n,1-6,因此7:t=(22-3)2+,+6.4. (2023湖南长郡中学模拟)在加“+|一(+1)m=2+，3S"=("+2)%,O+1=5+j)如这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答下列题目.设首项为2的数列“的前项和为S”，前项积为7；,且.(1)求数列”的通项公式；(2)设bn=(-)nanf求数列及的前n项和.解析(1)选条件.因为M+(+1)0»=/+，所以詈：一号=1,因为卬=2,所以=2,所以拗是以2为首项，1为公差的等差数列，则皆=+1,即必产"+几选条件.因为3Sn=5+2)%,所以3Si+i=(/+3)-+,两式相减，可得3。2|=(+3)%+1(+2)小,即小尸(+2)而所以+2；"尢+1)=F,因为齐1所以FfEr即az1=n2+n.选条件.E'(+2)zTn+(+2)%EjrI4"+1a”因为n+i-,所以亍一""+-,即(+2)(+1)-5+1)'因为%二1,所以（：；）=1，即斯=2+由(1)可知，a11=n2+nt所以b=(-)n(n2-n)t设儿的前n项和为B11t所以当N*时，b2k-1-b2k=-(2k-1)2+2-1+(2jI)2÷2=4,所以当=2A(A£N")时，Bt1=B2k=44(K+k)r+4X2+4Xk=2d+24=,+，当=221(2N")时，+1=2,所以(+D2.(+1)2Bn=BzIbz1=2+(+1)-K+1)2+1=12，'+，n=2k,kWN",综上325，n=2k-1,kN.5. (2023成都七中模拟)已知数列斯的前项和为S，且满足m=1,2S=w+i，£N*.(1)求%的通项公式；(2)设数列仇满足加=1,bnbn+i=2nfnN*,按照如下规律构造新数列q:0,bi,的，加，5，匕6，求C”的前2项和.解析(1)由25”=6+1,2Srt-=(w-1),(2),得2a,1=nat1+1(/?1)an,所以詈：=整”22).因为2S=s,所以。2=2,所以0=）=斯=（心2），又当=1时，。1=1适合上式，所以由=，"N".（2）因为瓦瓦+1=2”,bn+bn+2=2n+1,所以管=2（£N*）,又加a=2,所以岳=2,所以数列屹,J的偶数项构成以左=2为首项，2为公比的等比数列.故数列c的前2n项的和“=（。|+。3+。2-1）+（。2+仇+82”）,n(1÷2?-1)Tin-O2(12")1-2=2n+1+r-2t所以数列金的前2项和为2rt+,+n2-2.培优练：重点班选做6. (2023南京第三次模拟)已知等差数列1t满足:+3,43,。4成等差数列，且幻,。3,成等比数列.(1)求数列“的通项公式；(2)在任意相邻两项痣与以+】(&=1,2,)之间插入24个2,使它们和原数列的项构成一个新的数列九.记S为数列e的前项和，求满足S<500的的最大值.解析(1)设。公差为d,则a=ai+(一1)d,又41+3,6/3»成等差数列，所以23=。|+3+。4,即2+4d=20+3+3d,所以d=3,又。3,念成等比数列，所以s2=8,所以(+6)2=(+21),所以9m=36,£7i=4,故数列)的通项公式为=3"+1.(2)在新的数列儿中,V)存N*且*22时,公前共有Z+(2+22+2k)=2*+&-2项，又儿>0,故递增.,.Ir«(3w÷5)n6的前n项和Tn=2，.(3H5)k故Tk=2-取k=7,则2*÷-2=133,Si33=7+2×(2,+22+23+24+25÷26)=91+252=343<500,取k=8,则2«+攵-2=262,S262=7+2X+22+23+24+25+2°+27)=116+508=624>500,故所求最大的满足S<500的在133与262之间，此时S”中含有m,s,，内，其余均为2,又343+2X78=499<500,343+2×79>500,故g后共有78个2,则的最大值为133+78=211.第二次作业数列大题(二)1.(2023课标全国HI,理)设数列m满足=3,an+=3an-4n.(1)计算。2，。3,猜想诙的通项公式；(2)求数列2%的前n项和£.解析(1)由题意可得。2=3。1-4=94=5,的=3。2-8=158=7,04=312=9,.可猜想数列如是以3为首项，2为公差的等差数列，即知=2+1.(2)由(1)可知，32"=(2+12”,5,j=3×2+5×22÷7×23+(2-1)2,+(2+1)2n,2Sm=3×22+5×23+7×24+(2h-1)2h+(2w+1)2w+i,由一得一S,=6+2X(22+23F2,)-(2w+1)2rt+122×(12m-,)=6+2×:(2w÷1)2nt,=(1-2zi)2h,1-2,1Z即S“=(2-1)2"+2.2.已知正项数列如的首项=1,其前项和为S”，且。与诙+1的等比中项是双.(1)证明：%+2即是等差数列，并求数列小的通项公式；(2)数列"满足儿=丁一，其前项和为4,求使得7；埠的的取值范围.dn+C1n2Z解析(1)证明:与t7+的等比中项是2S", 25=ttd+1,Q) 2Sn+i。”+。”+2,由可得。”+2-0t=2,。”+2是等差数列.取=1,由得20=0敢，解得。2=2, T=I+(1)X2=21,。2«=2+(/?-1)X22/?».G，n=n.r9v.,_1_1_1一Inanw(injri(+1)(+2)+1+2'：Tt=历+历+加+÷),=)+(H)+(*-七11-2-÷2=2(+2)'由°(二、号得n+2>2,-1(zjN*),ZrZZ不难发现=1,2,3满足上式.方法一：当24时，设人)=2"一|一一2,则4+1)=2"(+1)2,，贝+1)-/()=21一1>0, 加+1)，伏")S24)单调递增,，加)宓4)>0, 当时，n+2<2 使得。夕的的取值范围为1,2,3).方法二：当=4时，4+2=6<24,=8,2z,=(1+1)n=Ct0+Cn1+C2+-+C2+Cz,1+Cn>2×w(nB+2w+2=n2+¾+2>2M+4,，当24时，÷2<2-1,，使得。干的的取值范围为1,2,3).3 .已知数列斯的前项和是A,”数列儿的前项和是反,若A3=14,an+i=2antnN.再从三个条件：&=一层+21；+2=8"+仇，"=20；儿=2221og24中任选一个作为已知条件，完成下面问题的解答.(1)求数列儿的通项公式；a,aWb,(2)定义：ab=tt记金=小场，求数列金的前IOO项的和TIOo.b,a>b,解析(1)由7+=2%,N*可得,数列诙为等比数列，公比为2,则A3=+2+4=14,所以小=2,所以a=2",nN*.选择条件，当=1时，=1=-1+21=20,当22时，bn=Bn-Bni=22-2n.显然从=20满足该式，所以儿=222，£N”.选择条件，则有&+|&=九一2,即儿+=儿-2,所以数列九是首项为20,公差为一2的等差数列，所以4=222，"N.选择条件，bt1=2221og2a,j=22-21og22=22-2n,"N*.(2)由(1)可得斯=2",bt1=22-2n1令火)=如一儿=2-22+2，易得人)在N*上单调递增，因为/(3)=23-22+6v0,X4)=24-22+8>O,所以当1”W3,nN*,w)<0,即知<仇；当24,N时，犬)>0,即而也.2