专题四 第3讲 空间向量与空间角 3.docx

第3讲空间向量与空间角考情分析1利用空间向量求二面角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.2.探究空间几何体中线、面位置关系或空间角存在的条件，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.考点一直线与平面所成的角【核心提炼】设直线/的方向向量为0,平面Q的法向量为凡直线/与平面所成的角为19,则。£O,：Sine=ICOSa,w>=j.例1(2023.广州模拟)在边长为2的菱形ABC。中，ZBAD=60ot点E是边48的中点(如图1),将AAOE沿DE折起到ZXAiOE的位置，连接A8,A1C,得到四棱锥A1-Ba)E(如图2).图1图2(1)证明：平面平面BCOE(2)若AE_1BE,连接CE,求直线CE与平面AIC。所成角的正弦值.证明连接题图1中的BQ,P因为四边形488为菱形，且NBAz)=60。，所以aABO为等边三角形，所以OE"1A3,所以在题图2中有DE-1BE1DE±AiEf因为8EAiE=E,所以QE_1平面48E,因为QEU平面BCDE,所以平面48E_1平面BCDE.(2)解因为平面4BEJ_平面BenE,平面A3E平面8C。E=BE,4E_18E,AiEu平面4山3所以4E_1平面BCDE,以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系,所以A1(0,0,1),C(2,3,0),0(0,3,0),E(0,0,0),所以布=(0,3,-1),AiC=(2,3,-1),EC=(2,3,0),设平面AICO的法向量为=(X,y,z),nAD=3y-z=0t则I'nAC=2x+y3yz=0i令y=1,贝IJw=(OJ,3),所以CoS<n,EC)nEC32TnEC2巾14所以直线CE与平面A1Co所成角的正弦值为誓.易错提醒（1）线面角。与直线的方向向量和平面的法向量n所成的角明的关系是”,+9=或。，一。=E所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.（2）利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.跟踪演练1（1）（2023新乡模拟）如图，在正三棱柱ABC-A出G中，AB=I,AAI=1点Q是侧棱B8的中点，则直线CiD与平面ABC所成角的余弦值为（）答案D解析方法一如图，延长GO,与CB的延长线交于点瓦CC_1平面ABC,GD与平面ABC所成的角为NCEG,又AB=1,AA1=小，点D是BB1的中点,.CE=2,CTE=币,即CoSNCECI=至=币=T即直线GQ与平面ABC所成角的余弦值为平.方法二如图，建立空间直角坐标系，。为AB的中点,又平面ABC的一个法向量为=(0,0,1),设G。与平面ABC所成的角为仇则Sine=ICOS<CD,)I=当cos=.(2)(2023.西安模拟)已知A,B,。在球0的球面上，ZBC=120o,AC=2,AB=If直线OA与截面ABe所成的角为60°,则球。的表面积为()416561123D333答案D解析设AABC的外心为Oi,由余弦定理得BC2=AB2-C2-2ABACsZBAC=12÷22-2×1×2cos120o=7,所以BC=币,则2。A=Sin1。=翁设球的半径为R,由题意可知OOi_1平面A8C,又直线OA与截面ABC所成的角为60。，所以NQAoI=60。，2Pj在R1AOO中，所以R=OA=2OA=÷,所以球O的表面积为S=4K=4X苧=号.考点二二面角【核心提炼】设平面CC,4的法向量分别为“，V,二面角Q-/一4的平面角为仇则。£0,).ICOSeI=ICoS<w,v>I=吉需j例2(2023新高考全国I)如图，在三棱锥ABCQ中，平面ABO_1平面BCD,AB=AD,O为BO的中点.A(1)证明：OA_1C。；(2)若AOCO是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二面角£一8。一。的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.证明因为AB=4。，。为8。的中点，所以OAJ_8。，又平面A8O_1平面BCD,且平面ABOC平面BCD=BD,AOU平面ABDt所以AO_1平面BCD,又CDU平面BCD,所以Ae11CD(2)解方法一因为aOCO是边长为1的正三角形，且。为BD的中点，所以。C=OB=OD=I,所以ABCO是直角三角形，且N6CD=90。，BC=3,所以SCD=坐.如图，过点E作E/AO,交BD于F,过点尸作尸G_13C,垂足为G,连接EG.因为AO_1平面BCD,所以EE1平面BCQ,又BCU平面BCQ,所以EFJ1BC,又FG工BC,且EFnFG=尸，EF,FGU平面EFG,所以BCJ_平面EFG,则/EG尸为二面角£一6。一。的平面角，所以NEGF=45。，则G尸=EE2因为DE=2EA,所以EF=WO4,DF=20F,BF所以方=Z因为尸G_18C,CD1BC,所以G产C。，则第=|,所以G尸二|.2所以痔=GF=亨所以OA=1,所以Va-bcd=Sbcd0=×2×I=手.方法二如图所示，以0为坐标原点，0B,04所在直线分别为工，Z轴，在平面8C。内,以过点。且与垂直的直线为)，轴建立空间直角坐标系.因为AOCO是边长为1的正三角形，且。为8。的中点,所以OC=OB=OD=,所以8(1,0,0),0(100),一看乎，0).设A(0,0,a),a>0,因为QE=2EA,所以一上，0,英.由题意可知平面BCD的一个法向量为Zi=(OA1).设平面BCE的法向量为m=(x,y,z),因为反*=(一5,坐0),诙=(*O,y,w.C=o,f-1÷=o,所以即142mBE=0,一三+拳=0,令X=1则y=5,Z=W所以m=(1,3,V41”因为二面角£一8。一。的大小为45°,得=1,即OA=1,因为SCD='BOCQsin60°=X2X1所以VA一BCD=TSmarOA=gx坐X1=*.易错提醒两向量夹角的范围是O,二面角的平面角与其对应的两法向量的夹角之间不一定相等，而是相等或互补关系，要注意结合实际图形判断所求角的大小.跟踪演练2(2023安庆模拟)在斜三棱柱ABC-A'B'C中，AABC是边长为2的正三角形，侧棱A4'=23,顶点A'在平面ABC的射影为BC边的中点。.(1)求证：平面8CC'B'_1平面AOA'；(2)求平面ABC与平面A'B'。所成锐二面角的余弦值.证明-AB=AC且。为BC的中点，O±BC,又A'O上平面ABC,BCU平面ASC,.4'O1BC1VAOz0=0,AO,A'OU平面AoA'.故BCJ_平面Ao4',又BCu平面8CC'B',因此，平面8CC'B,J_平面40A'.(2)解VA,Oj_平面AeCAO_1BC以点。为坐标原点，04,OB,OA'所在直线分别为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，VAO=3,AA'=23,.*.A,O=yAA,2AO2=3,由条件可得A'(0,0,3),B'(-3,1,3),C(0,-1,0),从而A'=(-3,1,0),CAr=(0,1,3),设平面A'13'C的法向量为I=(X,y,z),nvA,B''=0,nCA'=0,产一小叶产°，%+3z=0,取X=巾，则y=3,z=-1,可得“1=(小，3,I),易知平面ABC的一个法向量为w2=(0,0,1),设平面ABe与平面A'B'。所成锐二面角为仇则Wcos加，«2>I=IiS1=17一返一13，故平面ABC与平面A'B'。所成锐二面角的余弦值为晋.考点三空间中的探究性问题【核心提炼】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系：另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.例3(2023盐城模拟)如图，三棱柱ABC-AiBiG的所有棱长都为2,BC=6,AB1BiC.(1)求证：平面AB8A_1平面A8C；4(2)在棱B办上是否存在点尸，使直线CP与平面ACG4所成角的正弦值转，若不存在，请说明理由；若存在，求BP的长.证明如图，取AB的中点O,连接CO,BD因为三棱柱ABCIG的所有棱长都为2,所以48_1C£>,CD=3,BD=.又因为AB_1BIG且Co8C=C,CD,以CU平面BIC所以43，平面BiCD.又因为以。U平面B1CD,所以在RIZB8O中，BD=ItBB=2,所以8O=1在aBiCO中，CD=3,BD=3,B1C=瓜所以Cf>2+BD2=BC2,所以CO_1Bi。，又因为ABj_3£),ABCCD=D,ABtCoU平面4BC,所以乱O_1平面ABC又因为B1DU平面ABBiA,所以平面A884"1平面ABC.(2)解假设在棱8以上存在点尸满足条件.以。C,DAf。向所在直线分别为X,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(O,1,O),B(0,-1,0),C(3,0,0),B(0,0,3),因此说I=(0,1,3),AC=(3,-1,0),AA1=B1=(0,h3),CB=(-3,-1,0).因为点尸在棱8以上，设丽=刀晶="0,1,3),其中OWAW1则m=fe+而=史+2防=(-5,-1+2,3).设平面ACGAI的法向量为=(x,y,z),wAC=0,"1aai=o,y3-y=0,j+3z=0,235×3÷(-1)2+324-5_一Mx=1,贝IJy=4，z=-1,所以平面ACGA1的一个法向量为犀=(1,3,1).因为直线CP与平面ACGA1所成角的正弦值为最所以ICOS<w,CP>I=化简得162-8÷1=0,解得a=；,所以I两=%丽I=；,故BP的长为去规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.跟踪演练3如图，在直角梯形ABCO中，AD/BC,NBAO=90。，且A8=BC=；AQ,E是A。的中点，将AABE沿8E折起到ASBE的位置，使平面S1平面BCOE(1)求二面角B-SC-D的正弦值；(2)在直线S8上是否存在点P,使PO_1平面S8C?若存在，请求出点P所在的位置；若不存在，请说明理由.解(1)如图，取BE的中点。，由题意可得四边形ABCE是正方形，则SO1BEtCO1BEy又因为平面SBEj_平面BCOE,平面S8E平面BCQE=8E,SOU平面SBE,CoU平面8COE,所以SO_1平面BCDE,CO_1平面SBE,