专题3 第2讲 数列求和及其综合应用学生版 2.docx
第2讲数列求和及其综合应用【要点提炼】考点一数列求和1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：1111_O.1_11_1_1nn+1nn+1nn+kknn+kj*n2-12n-1n+1）,4n2122.如果数列fa”是等差数列，b“是等比数列，那么求数列anb“的前n项和S“时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出“SJ和“qSJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn-qSJ的表达式.【特点突破】考向1分组转化法求和【典例】1已知在等比数列aj中,a1=2,且a2,a：i-2成等差数列.（1）求数列EJ的通项公式；若数列bn满足bn=+21og2an-1求数列bj的前n项和Sn.3n考向2裂项相消法求和【典例】2（2023莆田市第一联盟体学年联考）设数列aj的前n项和为1,且Su=n2-2n,出“为正项等比数列，且b=a+3,ba=6a,+2.（1）求数列EJ和bj的通项公式；设C11=7u»求（c的前n项和T11.3«+1*1g2bn+1考向3错位相减法求和【典例】3己知数列4,的前n项和为S”a=2,an>0,且at-2a+an-3af=0.(1)求数列W的通项公式；设bn=1og3(1÷S)，求数列ab的前n项和Tn.n,n为奇数，【拓展训练】1(D已知函数f(n)=2口/田4且a”=f(n)+f(n+1),则a1+a2-n2,n为偶数，+as+必等于()A.-16B.-8C.8D.162(2)(2023武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为三的数列满足2(2+1)anan÷1÷ant1=Oa11,则ai+az+asdFa2023等于（）8080407840404039a,4041,4040c,4041D，4040(3)已知数列5和bj满足a=2,b1=1,an+=2af1(nN4),b÷2+)3HF-bn=b11÷-Z.5n1(nV).求数列a与bn的通项公式；记数列a°bn的前n项和为Tn,求Tn.【要点提炼】考点二数列的综合问题数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明.【热点突破】【典例】4（1）（2023日照模拟）如图，在直角坐标系XOy中，一个质点从A（a,aj出发沿图中路线依次经过B（a,a1）,C（a5,%）,D（a7,山），按此规律一直运动下去，则a2017I32018I0.2()i9+a202。等于(A.2017B.2018C.2019D.2020（2）（2023-洛阳第一高级中学月考）已知数列&,满足a+132+与”=r+11（11£10,设数zn列bj满足bn=型"，数列bj的前n项和为Tn,若TWTT人SEV）恒成立，则人的取值ana+n+1范围是（）?+°0,【拓展训练】2（1）（2023中国人民大学附属中学模拟）在数列aj中，已知af1=r+入n,nN*,则是“温是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）设曲线y=2020Xe（nV）在点（1,2020）处的切线与X轴的交点的横坐标为xn,令an=Iog2023Xn>则a+a2Fa2s9的值为（）A.2020B.2019C.1D.-1专题训练一、单项选择题1 .（2023聊城模拟）数列1,6,15,28,45,中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来,故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A.153B.190C.231D.2762 .已知数歹JaJ满足an+=ar,-at11(nN2,nwN*),a=1,a2=2,Sn为数歹IJan的前n项和，则S2020等于()A.3B.2C.1D.03 .已知数列a3®满足a=b产1,an+-an=ti=3,nN则数列ba0的前10项和bn为(),×(3,0-1)B.×(9,0-1)OC.×(279-1)D.T7×(27,0-1)4 .已知数列aj和bj的首项均为1,且anr2a11(n22),an+>a<1,数列bj的前a项和为Sn>且满足2SnSn+1+abn+1=0,则S2021等于()11A.2021B.2O?c4041D-40415.定义在0,+8)上的函数+)满足:当0Wx<2时,f(x)=2x-2;当X定2时,f(x)=3f(-2).记函数f(x)的极大值点从小到大依次为a,郎，an,，并记相应的极大值依次为b】，b2»>bn»,则S20=ab+a2b2+a20b2D的值为()A.19×320+1B.19×3i9+1C.20×319+1D.20×320+1二、多项选择题6.若数列an满足:对任意正整数n,an+1-an)为递减数列,则称数列为“差递减数列”.给出下列数列a)(nM),其中是“差递减数列”的有()A.a=3nB.3n=n+1C.an=yD.a,1=1n消TY7.(2023浙江改编)已知等差数列的前n项和为S,公差d#0,¾1.记b=S2,bnH=S2n÷2-S2n,nM,下列等式可能成立的是()A.2a,=a2+asB.2b4=b2+b6C.a：=d28D.bi=bzbg8.已知数列an的前n项和为S,点(n,Sr,+3)(nM)在函数y=3X2*的图象上，等比数列br满足bn+bn+1=an(N),其前n项和为Tn,则下列结论错误的是()A.S11=2T11B.T,1=2bn÷1C.Tn>anD.Tn<bn+1三、填空题9 .数列列的通项公式为区=京+尸若该数列的前k项之和等于9,则k=.10 .设数列an满足a=1,且2=噜(nM),则数歹Jan的通项公式an=,数ann十1列三一I的前o项和为-(anan+j11 .己知数列aj,h满足a=1且a"，a“+1是函数f(x)=2-b.x+2"的两个零点，则as=，bo=.12 .在数列at1中，a÷÷HF1=2n-1(nN*),且a=1,若存在nV使得aWn(n+1)人成立，则实数人的最小值为.四、解答题13 .(2023新高考全国I)已知公比大于1的等比数列为满足a2+at=20,a3=8.(1)求aj的通项公式；(2)记上为an在区间(0,m(mM)中的项的个数，求数列bj的前100项和SKH).14 .已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2a4,-1(nM),数列bj满足nb+(n+D和=n(n÷1)(nN*),且b=1(D证明数歹IJ七为等差数列，并求数列an和bn的通项公式；若cn=(-1)n-H4"1i，求数歹Ua的前2n项和T2n;3÷21og2at13+21og2an(3)若dn=an以，数列dj的前n项和为Dn,对任意的nN*,都有DnWnSn-a,求实数a的取值范围.
