数理方程公式.docx

数理方程公式一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式2U2z.小节7面,S<X<8">0)W1=飙外必1o叩1w(0-f(x-0r)+-/)÷(a)da解为：2M1一维弦振动的初值问题：齐次化原理2u2S2U”z而rY芥./0M,(y><x<co>0)=O14Tf<dx)"C"MRr解为：2iU,o一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式+齐次化原理2uj2u,、Z.而r/(x,0("c0<X<A/>0)MIy1W(X)解为:«I<*It*<-r)w(x,1)=-(x-or)+(x-0r)1+(aW+-jf(9r)ddZ勿JtV勿IW)二维波动方程的柯西问题：二维泊松公式.Ar1Ctw(x,yt)=-I1J令2皿I1J(a)，”*)。0-4七!痴2(,)d-OX)2-07一»jxrcos,yriin)rd(r)2-r,三维波动方程的柯西问题：三维泊松公式u1f2U2u2u.=V+“XJ'Z)'1”区乂Z)解为:巾喙焉,闻+7,M1tf7+Jr=一(-J(x+OtsinOcos热y+Ssinsin中,Z+coX0t)2sindd'ooI2«*"4了!jw(x+mnOcoe夕j+HsinOsinazfacoe6O(H)JinftZft/三维非齐次波动方程的柯西问题：三维泊松公式+推迟势u1.2Uiu29i.“、V+/(w)*-"必以色-，(XJ,z)6Y分解成两个问题：三维齐次波动，其解已经给出。U2月2MiU2UC、XWR+(3-O解为:JJ/丝，#dSdH)1/GM-二)fF4皿喝，弦振动方程的混合问题:2V22U“、.-e/(XJ)Oyr0zv(xX-r(x)5x=O:w=(Xx=/:«=2()利用叠加原理，分解成三个问题，且=-20t2x2(Xf=OzM1=fKxX¾=r(x)Ctx0txzw10非齐次ICti&3八')t0u2=0,2-=Otx=0,x=zw2=0非齐次Eq-O/=0:%X=O:%(r)ixzuj(O非齐次IB的解法：分离变量法()的解法：先用分离变量法求解W,再用齐次化原理。(/)的解法：把非齐次边界条件通过未知函数的适当变换化为齐次即可。先令小i(,)W(叫再令_u则可以用前两段的方法解出匕最后得到：“(m)=y(x，)+U(xM一维热传导的初值问题:u2S2U一、MaBa-÷UOCTCXMr-O=可外解为:一维热传导方程的混合问题：分离变量法,U(OM="(/,，)=0w(x,0)-fKx)G(M,M0)二尸一-g(f,Aft)格林函数：4叫叫镜像法:球:G(,Af)-In-In圆：勿J.”A凡因1111注意：圆与球相似，但在二维时，作4"2用替换。调和函数的积分表达式：对于在+上有连续一阶偏导数的调和函数U,它在区域Q内/外/上任一点"的值，可以通过下面的积分表达式，用这函数及其法向导数在区域边界上的数值来表示。u(f0)=*a1O,ftin号242皿"。)，MOr1C/rtC4i(M0)tAf0outA1ap1ace算子:极坐标50)：2u1uI2uw=-+rrr2rdrr22球坐标(匕仇0)：13Q、1.AM.1见rr2drrdr+r2sinWn'/rinOa夕柱坐标(八仇二):rdrdr1ua，7r新薮n阶1egendre函数:P.O)24<>n阶k次连带1egendre函数：ftPm(X)-(I-Xj)sP(X)连带1egendre函数的两个递推公式：1("i)Pf-(2Wu+"P-U"(2÷(i-2),pPf-2xPjP7(2*iY)1nJT+状=O略7十近0解为：T=Cej厂+乃7+就=0解为：r")=J(NcosaMsind)其中O=y-h2r+献-忒=O解为:设R")二"”代入方程求解，略。调和函数的极值原理；调和函数的强极值原理：略1ap1ace方程差分格式的极值原理：略热传导方程的极值原理：设在矩形肌。，从04，"上u_2a2”连续，并且在矩形内部满足热传导方程而="左，则它在矩形的两个侧边（xa及AdOqMT）及底边Q=0,"x4A）上取至IJ其最大值和最小值。r*三维空间球内的调和函数的球谐展开：F（包括球面上，r-R）三维空间球外的调和函数的球谐展开：尸f