作业13 2.docx
专题训练作业(十三)第一次作业1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA1AD,平面%Z)_1平面ABCD,AB=21I=AD=3.点E在线段PC上(端点除外)，求证：四边形ABE尸为直角梯形；若AF=乎，求直线PC与平面ABEr所成角的正弦值.解析(1)证明：,:AB/CD1ABU平面ABM,S1平面ABEE，CO平面ABEE又CDU平面PCD,平面ABE尸C1平面尸Co=E/，：,CD/EF/AB.又YEFvCD=AB,，四边形48E尸为梯形.'JAB1AD,平面附O_1平面ABC。，平面刑O平面ABCD=40,ABU平面ABCo,.AB_1平面PAD.又YA尸U平面PAD,*.A8_1AF.，四边形ABE/为直角梯形.(2)方法一：在直角三角形以。中，PD=32,AF=xrJ-,则PQ=2E，产为P。的中点，又C。E尸，.E为PC的中点.VBA1AD,又由(1)知，A8_1平面网。，AB,AD9A尸两两垂直.以A为原点，分别以诵，AD1Q的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz(图略)，则A(0,O,O),BQ,O,O),C(2,3,O),P(0,0,3).33f33TE(1,5,aJ.BE=(i2,2),AB=(2,O,O),PC=(2,3,-3).设平面ABE尸的法向量为S=(x,y,z)./ZIABKO,mBE=0.令y=1,则w=(0,I,-1).设直线PC与平面48E尸所成的角为仇则SinG=ICoS(PC,m)|PC0=PQ-m311故直线PC与平面A8E尸所成角的正弦值为呼方法二：*：PA1ADyPA=AD=3,PD=32.;AF=呼,PD=2AF.，尸为尸。的中点，：.AFI.PD.由（1）知AB_1平面用。.又PoU平面PAD,1PD又AFHAB=At，尸。_1平面ABEF.，直线PC与平面48E/所成的角即为/PEF.又，：EF/CD,，NPEF=ZPCD.又ABC。，CD±PD.PDPD323*s,TO2+C(3)2211-直线PC与平面ABE尸所成角的正弦值为平.2.（2023.昆明市三诊一模）如图，在三棱柱ABC-BC1中，四边形BCGS是菱形，ABYBC,G在底面ABC上的射影是BC的中点.（1）证明：CB1_1平面A8G；若BC=2AB,求CB1与平面ACCiA,所成角的正弦值.解析（1）证明：设8C中点为。，连接GO,如图.因为G在底面A8C上的射影为BC中点，所以GO1.平面ABc又因为C1oU平面8CG8,所以平面8。GB1_1平面A8C,又因为平面A8C平面BCGB1=BC,AB±BCt所以48，平面BCGBI,因为BCU平面BCCiBtf所以48"18C,又因为四边形BCGS为菱形，所以BC11BG,而ABGBG=8,所以5C_1平面A8G.（2）不妨设3C=2,则48=1,因为Go_1BC,BD=DC,所以GB=GC,又因为四边形BCGS为菱形，所以CC=C8,故AGBC为等边三角形，所以NBCG=60°,故CID=小,由(1)知ABj_平面BCG8,AB1BCt以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz如图，8(0,0,0),A(0,1,0),C(2,0,0),S(1,0,3),C(1,0,3),所以无1=(-3,0,3),设平面ACGAI的法向量为=(x,j,z),AC=(2,-1,0),AC1=(1,_AC=0,-1,3),由_.AC/1=0,令z=1,可得=(小，23,1),设Cs与平面4CG4所成角为仇则Sin=y*慧*1=；CBn273X4所以CBi与平面ACGA1所成角的正弦值为;.3. (2023大连第一次模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ABED15FffiBCFE,BA-1BCfBC=3,BE=DE=DA=AB=(1)求证：AE±YffiBCFE,(2)求直线DF与平面AE尸所成角的正弦值.解析(1)证明：在三棱台ABC-QE尸中，DE/AB.因为BE=AO,所以四边形ABEO为等腰梯形，因为BE=DE=1AB=2,所以可得NA8E=T,在AABE中，由余弦定理可得AE=5,所以3g+4层=432,所以AE_18E,因为平面ABEQj_平面BCFE,且平面ABED平面BCFE=BE,AEU平面ABED,所以AE1平面BEFC.由可知AEJ_平面BEFC,因为BCU平面BcPE,所以Af11BC,又8A_1BC,且AE,BAU平面ABED,所以5C_1平面ABED.方法一：又BCU平面ABC,所以平面A8C_1平面ABED,在平面ABED内过B作BA的垂线，则该垂线垂直于平面ABC以B为坐标原点，BC,BA所在直线为K轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,(xo=Ot所以<1r13()-3>,o+3zo-0»取和=1,则得ZO=小，所以=(0,1,5),设直线。尸与平面AE尸所成角为仇同/JIi7、IIDF川|1|H则sinO=ICOSDFtI=-=-/=U"了,DFn×2，3所以直线。F与平面AE尸所成角的正弦值为唱.方法二：因为E尸8C,所以EZt1平面ABEO,又E尸U平面AEE所以平面AMJ1平面ABED,如图，过。作OGJ_AE,垂足为G,连接GR又平面AEF平面ABED=AEf所以OG_1平面A所，所以拉尸在平面AE尸内的射影为GF,所以NoFG为直线。尸与平面AEF所成的角，在AAOE中，DG=OEXSin300=1,又FD=AC=2t1在RtAOG/7中，SinNDFG="=3，2所以直线。尸与平面AE尸所成角的正弦值为晋.4. (2023.成都七中模拟)已知平行四边形A8C。中，NC=60°,点E在4。上，且满足BC=2AB=4AE=4,将aABE沿班:折起至院的位置，得到四棱锥P8CQE.(1)求证：平面PDE11平面8CDE；(2)若二面角尸一BE-O的大小为120°,求直线PB与平面PCo所成角的正弦值.解析(1)证明：在aABE中，AB=2tAE=I,NA=60°,由余弦定理得BE1=AB2+AE2-2ABAEcos60°=3,fBE2-AE2=AB21故BE1AE.BBE1PEtBEtDE,PEHDE=Et所以BE_1平面PDE,又BEU平面8CQE,所以平面PoE_1平面Ba)E.(2)由(1)可知NPEo即为二面角PBED的平面角.以七为坐标原点，ED,诙的方向分别作为X轴、y轴的正方向，建Zf立如图所示的空间直角坐标系Exyz.1h于是。(3,0,0),8(0,3,O),P(/0,竽)，C(4,3,0),所以丽=(；,3*一坐)，元=(|，小，一坐门PD=0,一坐)，设平面PCo的一个法向量=(汨，y,Zi),nPC=+3y-1=0,有彳即Vr厂“PD=O,p-z1=O,令XI=小,则=1,z=7.所以=(5,-1,7)即为平面PCo的一个法向量.cos（，PB）_nPB_2159M11两2后设直线PB与平面PC。所成角为,则SinO=ICoS，PB)I=弓詈,59所以直线尸8与平面尸CO所成角的正弦值为£詈.培优练：重点班选做5. (2023天一大联考)如图1,五边形ABCE/中，ZXAB尸为等腰三角形，ZBAF=120°,四边形BCE/为矩形，CE=23,EF=I,。为CE的中点.将四边形AZ)E尸沿AD折起,使得平面AOEf1平面ABCD,如图2.(1)试问：在AD上是否存在一点P,使得平面PCE平面A8F?若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由；(2)求直线BE与平面AB尸所成角的正弦值.解析(1)在AO上存在点P,且AP=1,使得平面PCE平面ABF.理由如下：在Ao上取一点P,使得AP=I,连接PC,PE,如图.因为AP8C,AP=BC,所以四边形A8CP为平行四边形，所以PC4B因为Pa平面A8F,48U平面所以PC平面A8P.AP/EF,AP=EF,所以四边形AP£户为平行四边形，则P七AE又PEa平面ABF,AFU平面Ag所以PE平面ABF.因为PEPC=P,所以平面尸CE平面A8F.(2)在图1中，AD1CE,所以在图2中，AD1DEfAD1CD.又平面AoEE1平面A8CO,平面4。EFr1平面ABCO=A。,所以C£>J_平面AoEr，所以CO_1OE,MEDiDC,AO两两垂直，所以以。为原点，DAtDC,0E所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,3),B(1,3,0),F(1,0,3),所以矗=(一1,小，0),AF=(-1,0,3),BE=-,-3,3).设平面AB厂的法向量为=(x,y,z),AB,=0,x÷3y=0,则所以，rIaf-=o,1-+3z=o.令X=小，则y=1,Z=I,所以=(5，1,1).设直线BE与平面A8/所成的角为仇则sin1心限1小一1叵依一值声35故直线BE与平面AB尸所成角的正弦值为噂.第二次作业1.(2023武汉市质量检测)如图，四边形ABCD是边长为T5的菱形，对A角线BD=4,F为CD的中点，CEJ_平面BCD,CE=2.现沿BD将4A3OA/七翻折至4A3O的位置，使得平面A山。_1平面C8D,且点4和E在平面BCO同侧.(1)证明：AI尸平面8CE；(2)求二面角Ax-BF-E的正弦值.解析(1)证明：如图，取3。中点O,连接40,。尸，丁尸为Co的中点，,O尸8C,又O闲平面BCE,BCU平面8CE,.OF/BCEfVB=D,/.AiOA-BDf又:平面平面C8。，平面48O平面CBD=BD,.4O1平面C8O,又CE1平面C8Q,.AOCE.又A1oa平面BCE,CEU平面8CE,4。平面BCE,又A1oCoF=0,AO,OFU平面AiOFt，平面A1oF平面BCE,又AI尸U平面A1oE.洛|尸平面8。£：.(2)连接。C,易知OD,OC,Q4两两垂直，所以以O为坐标原点,ODiOC,04所在直线为K轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易知A1(O,0,3),(-2,0,0),1,|,0),E(0,3,2).设平面AB尸的法向量为"=(x,y,z).itBAi=(,Vi,z)(2,0,3)=2x÷3z=0,令y=2,则X1=1,2=,=(1,2,Ij.设平面EB尸的法向量为O=(X2，”，Z2).-2)=Mp,22z2=O.V-BF=CX2>>'2，Z2)(3,o)=3x2+X2=O,令”=2,则12=1,Z2=-2,v
