专题三 培优点10 数列的奇偶项问题 4.docx

培优点10数列的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征（等差、等比或其他特征）求解原数列.例1（1）（2023聊城模拟）在数列中，若o+2=2,且a+iazj-=1+cos兀，则数列”的前100项和为.答案2550解析an+-an-=÷cosn=1+（1）”,当为奇数时，a+i411=0,，数列佃）中的偶数项相等，X2+4+6+moo=5On2,当为偶数时，斯+1m-1=2,，®中的奇数项成等差数列，且公差为2,50X49÷a3+a5+-+w=5671+5X2=50m+50X49,S=50a2÷50o1+50×49=50(+2)+50X49=50X2+50X49=2550.(2)(2023平顶山模拟)在数列%中,«1=1,÷=3aw-2n-1(nN*),记金=3"2X(1)3,若数列金为递增数列，则实数i的取值范围为.答案(V1)解析,:am=3a,1-2,1,.*.+7=2-24,g±1-1-2f-即2,由22k2,z2卜*22=0,220,即。”=2门，g,=3-2×（-1）U2m,=3m-（-2）w2,Y数列c为递增数列，对任意的N",cn+cw恒成立，即3+1（-2）"+:3"（一2）%即3”（一2）广以恒成立，当为奇数时，恒成立，此时（一号"I的最小值为1,则入1;当为偶数时，2（一1）恒成立，此时（一步的最大值为一方即Z一永3综上，一5<a<.例2在数列”中,己知a=1tanan+,记S”为m的前n项和,为=。2”+如-1，£>1".(1)判断数列九是否为等比数列，并写出其通项公式;(2)求数列为的通项公式；(3)求Sn.所以。+4+2解(1)因为4厂。”+1=(%所以TZ=5，即即+2=呼小因为4=。2"+C12ix-1»所以A"+142"-2+"2"TI1bna2n+a2n-。2+。272,所以数列九是公比为;的等比数列.因为0=1,ava=y13所以。2=2，b=a-a=y所以n=1×=奈，N*.(2)由(1)可知如+2=%，所以。1，的，的，是以0=1为首项，；为公比的等比数列；。2是以2=3为首项，T为公比的等比数列，所以GnT=(T)",。2=(号"，+111I,为奇数所以小3_12为偶数.(3)因为S2"=(+3Fa2,1i)+(2+HFs,?)=<7_31_4-S21S232232"'C33,为偶数，2?所以S=y143为奇数.<2r能力提升(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型数列中连续两项和或积的问题3+。”+1=火)或anan+=fin);含有(一1)"的类型；含有他2),敢-|的类型；已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列小求S“时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把。2«-1+。2人看作一项，求出S为再求Szkt=Sza-。我.Ei跟踪演练1 .数列小的通项公式为小=(一1)1“4-3),则它的前IOO项之和SIOo等于()A.200B.-200C.400D.一400答案B解析Soo=(4×1-3)-(4×2-3)÷(4×3-3)(4×100-3)=4×(1-2)+(3-4)+÷(99-100)=4×(-50)=-200.2 .已知数列斯的前项和Sn=(-1),若对任意的正整数，使得(a+ip)3"-P)VO恒成立，则实数P的取值范围是.答案(T,3)解析当=1时，=S=-1;当22时，an=SnSn-=(-1)nn-(-1)n-,(w-1)=(-1)n(2n-1),勾=一1满足上式.因为对任意的正整数，(知+ip)(a“-p)<0恒成立，所以(一1)+1(2+1)-p(-1)(2w-1)-p<0.当是正奇数时，化为山一(2+1)p+(2-1)<0,解得12n<p<2n+1,因为对任意的正奇数都成立，取=1时，可得一1<p<3.当是正偶数时，化为山一(2-1)仍+(1+2)<0,解得一12</K2-1,因为对任意的正偶数都成立，取=2时，可得一5<x3.1<p<3,联立，解得一1vp<3.一5<p<3,所以实数P的取值范围是(一1,3).3 .已知等差数列小的公差为2,前项和为孔,且S,S2,S4成等比数列.(1)求数列期的通项公式；(2)令儿=(一1)一|1一，求数列儿的前项和Tn.解(1).等差数列斯的公差为2,前项和为S”，且S,S2,S4成等比数列，1),(2i+2)2=i(41+12),解得0=1,*an-2n-.4(2)由(1)可得儿=(-Iyc4M+1=(-1)(2-1+2+)当n为偶数时，.=(1+1)-(5+5)+(3+)+(2一3+2一1)(2一1+2”+112n=1-=2÷12÷当为奇数时，*尸(T)-(H)+(H)(+2i)÷(+2口+，=三2n+12+磊，为偶数，2+2、2+1'为奇数.