专题一 第6讲 母题突破3 零点问题 3.docx
母题突破3零点问题【母题】(2023全国I)已知函数外)=c-(x+2).(1)当。=1时，讨论大外的单调性；(2)若/(X)有两个零点，求C1的取值范围.(2)思路分析一Wx)有两个零点Ix)的图象与X轴有两个交点I求导函数/Q),确定函数人X)的性质思路分析二。/(X)有两个零点1r1-22=丁有两个不相等的实数根I1r-4-2函数)，=十的图象与函数9。)=-的图象有两个交点C1CI求导确定°a)=M的性质解(1)当a=时，/)=ev-+2),f(x)=ex-1,令/(x)<0,解得x<0,令/(x)X),解得QO,所以兀T)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.(2)方法一/x)=e-a.当<0时，f(x)>0,所以/(X)在(一8,+8)上单调递增.故KX)至多存在一个零点，不符合题意.当白>0时，由/(X)=0,可得X=Ina当x(-8,ma)时,f(x)<0;当x(1n,+8)时，/()>0.所以JU)在(-8,Ina)上单调递减，在。n,+8)上单调递增.故当X=Ina时，Kr)取得最小值，最小值为/(1na)=(1+1n).(i)若0<,则川n)20,危)在(-8,+8)上至多存在一个零点，不符合题意.(ii)若d>-fy(1na)<0.因为犬-2)=eP>o,所以Kr)在(一8,Ind)上存在唯一零点.由(1)知，当心>2时，ev-2>0,所以当x>4且Q2In2时，|x)=e'”一。(工+2)>加2巴仔+2)(+2)=24>0.故外)在(Inm+8)上存在唯一零点.从而Kr)在(-8,+8)上有两个零点.综上，的取值范围是+).1+2方法二令KO=0,得3=(x+2),即"=丁，1jv+2所以函数y=2的图象与函数Wa)=丁的图象有两个交点，X-1,(X)=e'，当xW(-8,1)时，,(x)>O;当x(-1,+8)时，'(x)<O,所以9。)在(一8,一1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减，所以9(x)ma=e(-D=e,且Xi8时，g()f-8;f+8时，(Q-0,所以Oq<e，解得。>占所以的取值范围是(%+8)子题1(2023全国甲卷改编)已知优>0且W1,函数力0=?(心>0),若曲线刁与直线y=1有且仅有两个交点，求的取值范围.解兀v)=5=1oav=rt=Hn=HnxO乎=乎，设函数g(x)=乎，则g'(X)=ITn",令g'()=o,得=e,在(O,e)上，g,(x)>0,g(x)单调递增；在(e,+)±,g,(x)<0,g(x)单调递减,:g(x)max=g(e)=白又g(1)=O,当4f+8时，g()->O,曲线y=«r)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线”有两个交点的充要条件是0<1詈(，这即是(Xgm)Vg(e),的取值范围是(1,e)U(e,+).I子题2(2023北京东城区质检)已知函数KX)=X3x.设函数心)=七一2,x(0,),试判断x)的零点个数，并证明你的结论./11解r(x)=O,x(0,),即"-2=0,等价于X212sinx=0.设g(x)=x2-1-2Sin%,x(0,),则g'(X)=2x2cosX.当x修)时，g'(x)X),g(x)在区间任，)上单调递增.又g(3=友-3v,g()=2-1>0,所以g(x)在区间,)上有一个零点.当X£(0,3时，设(X)=g'CO=*2CoSX.h'(X)=2+2SinQO,所以屋在区间(0,习上单调递增.又g'(0)=-2v0,g,()=>0,所以存在xo(,号，使得g，(xo)=O.所以当x(0,沏)时，g,(x)<0,g(x)单调递减；当x(xo,§时，s,()>0,g(x)单调递增.又g(0)=k,g。=亍-3v,所以g(x)在区间(0,3上无零点.综上所述，函数心0在定义域内只有一个零点.规律方法(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与X轴(或直线y=Q在该区间上的交点问题：第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；第三步：结合图象求解.(2)已知零点求参数的取值范围：结合图象与单调性，分析函数的极值点；依据零点确定极值的范围：对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.Ei跟踪演练1 .(2023-安庆模拟)已知函数贝X)=In-aex+1(R).(1)当。=1时，讨论Ar)极值点的个数；(2)讨论函数段)的零点个数.解(1)由式幻=InX-e+1,知x(0,+).当=1时，y(x)=1n-e'÷1,f(x)=-er,显然/(X)在(0,+8)上单调递减.又/6)=2#>0,/=1e<0,当X(0,M)时，/(x)>0;当x(xo,+8)时，/()<0,所以X)是贝X)=InX-ex+1的极大值点，且是唯一极值点.(2)令y(x)=1nX6re+1=0,则a=/？)Inx÷1令y=a,g(x)=-Inx-1fXg(X)=(x>0).令(x)=-In%1,则(x)=-<0,所以力(X)在(0,+8)上单调递减，而力(I)=0,故当XW(U)时，(x)>O,即/(x)>0,g(x)单调递增；当x(1,+8)时，h(x)<Ot即g'(x)<0,g(x)单调递减.故g)max=g(1)=E又gQ)=O,当x>1且Xf+8时，g(x)>0且g(x)f0,作出函数g()=地券的图象如图所示.结合图象知，当尾时，«x)无零点,当"WO或a=：时，式为有1个零点，当(X<5寸，犬工)有两个零点.2 .已知函数AO=Inx-a(x1)ex,tzR.若Oca,证明：_/(x)有两个零点.yen11-Cix1Ct证明/(x)=-rer=-,令g(x)=1-ev(x>O),*g'(x)=0r(x÷2)ev<0,.g(x)在(0,+8)上单调递减，又g(1)=1-ae>O,65)=Ir(In34=1-(H>VO,.ro(1,In),使g(xo)=0,即1-e"=O,.当x(0,沏)时，g(x)>O,/./(x)>0,当X(XO,+8)时，g(jv)V,：.f(X)V0,(x)在(O,M)上单调递增，在(Mh+8)上单调递减，*x)max=T(Xo)M1)=0，.i)=O,.U)在(0,松)上有唯一零点1,(1n9=1n(1na)-,n+h易证1nx<-1(x>1),/也岛-1，小加，()在(X0,+8)上有唯一零点，综上，/(X)有两个零点.专题强化练1. (2018全国II)已知函数人©=$一(x2+x+1).(1)若。=3,求的单调区间；(2)证明：_«%)只有一个零点.解当=3时，3x2-3x3,f(x)=x2-6-3.令F(X)=0,解得x=3-25或x=3+21当x(-8,3-23)U(3+23,+8)时，/()>O;当x(3-2g,3+23),f()v.故段)的单调递增区间为(一8,325)，(3+25，+8),单调递减区间为(325,3+25).(2)证明因为x2+x+1>O在R上恒成立，所以J(X)=O等价于炉工+-3=0.设姓尸总不7-3。,11Iz2(X2÷2÷3)I1上、则g)=-(3m"i)2'20在R上也成立,当且仅当X=O时，g'(x)=0,所以g(x)在(一8,+8)上单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而凡¥)至多有一个零点.又/(34-1)=62÷2-=6'a1P-10,3+1)=>0,故危)有一个零点.综上所述，KX)只有一个零点.2. (2023广州模拟)已知函数(x)=in-0r2+x(6iR).(1)证明：曲线y="v)在点(1,)处的切线/恒过定点；(2)若/(X)有两个零点汨，必，且X2>2x,证明：>x？+>,证明Wf(x)=1n-20r+2,则/(1)=22,即切线斜率为22,又yu)=1,则切线/的方程为y(1a)=(2-2)(x-1),即y=(2-2a)(x-£),可得当X=T时，J=O,故切线/恒过定点0).3. )V,M是的零点，2>2x,且即>0,X2>0,InXi÷1=ax,In迫+1="2,x1nXi÷x=0,1,1八即及InX2-小十42=0,Inx÷1nx2÷21nx2-1nxa=,X-tX2X2X/I72(x+x2)1n-即In(XIX2)+2=,X2-X令r=F则>2,则Ina1X2)+2=Xit1人"+1)nr721nz令g(。一z-1，则gO(11)2.1(t1)2令力=1-21nf,则=一2>0,则人单调递增,3(r)>(2)=2-2In2>0,即g'(r)>0,则g(f)单调递增，gS>g(2)=31n2,QQ1n(x1x2)÷2>3in2,即1n(xX2)>31n22=1n3，即xix2>2,则出?+3)2¥112>?(由于X1WX2,故不取等号)，得证.
