专题五 培优点13 非线性回归问题 2.docx

培优点13非线性回归问题通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用，其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义.例(2023.武汉模拟)近年来，明代著名医药学家李时珍的故乡黄冈市新春县大力发展大健康产业，薪艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，己知薪艾的株高)，(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：)有关，现收集了斯艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y=+M或y=c+(建立y关于K的非线性回归方程，令s=1f=:得到如下数据:Xy710.15109.943.040.1613yz-13S.y*=113，的一13ty产113-福-13s2/=I13_rr-13r2Z=I13-13y2/=I13.94-2.111.670.2121.22且(0，M)与(5MXi=I23,，13)的样本相关系数分别为小r2,Kr2=-0.9953.(1)用相关系数说明哪种模型建立y与X的非线性回归方程更合适；(2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于X的非线性回归方程；(3)已知薪艾的利润Z与X,y的关系为z=2Qy一夕，当X为何值时，z的预报值最大.参考数据和公式：247.6374=15.7365,对于一组数据(的，曲(i=1,2,3,，)，其线性回Z创一UVAAAIA归方程o=+的的斜率和截距的最小二乘估计分别为A=,a=V-u,相Z店一u2i=1因为gK1闻1,所以用y=c+(模型建立y与X的非线性回归方程更合适.13r¾-13ty产I21因为"=一=-o,-1372Z=II1c=7-j7=109.94+10×0.16=111.54,io所以y关于X的非线性回归方程为y=111.54-%(3)由题意知z=20y%=2(111.54一$一$=2230.8一阴+x)w2230.820=2210.8,A所以zW2210.8,当且仅当x=20时等号成立，所以当温度为20时薪艾的利润最大.-能力提升非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图.(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回如方程.(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.后跟踪演练(2023洛阳联考)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量H单位：亿元)对年销售额出单位：亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：y=a+x2,y=a1其中,小九，均为常数，e为自然对数的底数.现该公司收集了近12年的年研发资金投入量Xi和年销售额的数据，i=1,2,，12,并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值.令4=6，3=MyV=I,2,12),经计算得如下数据:y12_(Xi-X)2Z=I12_S-y)2i=1VV20667702004604.212_W1W)21=112_(小一)()1y)j=112_(V,-V)21=112_(X1X)(Vi-V)I=I3125000215000.30814设(如，W的相关系数为八，8,的相关系数为n，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于X的线性回归方程(系数精确到0.01)；若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量X是多少亿元？(为一X)61y)附：相关系数,二：,(即一二)28"7)2n(为-X)(>'/y)线性回归方程;=；+晟中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为3:(-)21=1y-bX；参考数据：308=4×77,909.4868,e44"890.12_(如-w)(yi-y)产I2150021500_43_123125000×20025000-50,(1)2(y-y)212_(Xr-X)(Vf-V).M4n_!2770×0.308-77×0.211'(X1X)2(Vi-v)2/=1Z=I则E<rd,因此从相关系数的角度，模型y=""的拟合程度更好.(2)先建立。关于X的线性回归方程.由),=*+，得1ny=f+v,即。=f+r.12_(Xi-X)(v,-V)Ai=I4由于-=770=0.018,(Xi-X)2t=VX=4.200.018义20=3.84,所以。关于工的线性回归方程为。=0.02x+384,所以Iny=O.02x+3.84,则），=*<3+3.84下一年销售额y需达到90亿元，即y=90,代入y=e°o2+384得，9=eoo1r+384,又eg998%90,所以4.4998=0.02r+3.84,4.4998-3.84所以X七-=32.99,所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元.