专题一 第2讲 基本初等函数函数与方程 2.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程考情分析1基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.考点一基本初等函数的图象与性质【核心提炼】1 .指数函数y=0v(0>O,且4W1)与对数函数y=1ogd(4>0,且z1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分0<<1,>1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2 .基函数的图象和性质，主要掌握=1,2,3,一1五种情况.例1(1)(2023茂名水东中学模拟)函数1/(%)=与函数g(x)=1og1在同一坐标系中的图象可能是()答案D解析g(x)=1og=-IogM,则函数於)与函数g(x)单调性相反，排除选项B,C；再由g(1)=0可排除选项A.(2)(2023全国II)若2x-2y<3x-3'yt则()A.In(y-x÷1)>0B.In(y-x÷1)<0C.In-y>0D.1n|xy<0答案A解析设函数大q=2，-3二因为函数y=2r与)，=3一”在R上均单调递增，所以7U)在R上单调递增.原式等价于2戈一31<2卜一3?即yU)<U),所以x<y,即yGO,所以A正确，B不正确；因为仅一H与1的大小关系不能确定，所以C,D不正确.规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数。的影响，解决与指数函数、对数函数问题时，首先要看底数的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.跟踪演练1(2023新高考全国II)已知=1og52,/1og83,Ca则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c答案C解析a=Iog52<1og55=2=1ogs2-V2<1og83=b,即a<c<b.IogM,x>0,(2)(2023济南模拟)已知函数/)=一一八3>0且K1),若函数/W的图象上有x+2,3WXWo且仅有两个点关于)，轴对称，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)U(3,+)D.(0J)U(13)答案D解析y=1og«x的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=1og4(一幻，函数(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y=1og-x)与y=x+2,-3WXWo的图象有且仅有一个交点.当(Xa<1时，显然符合题意(图略)；当公>1时，只需Iog43>1,.1<v3,综上所述，的取值范围是(0,1)U(1,3)考点二函数的零点【核心提炼】判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程兀6=0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1函数零点的判断例2(2023沧州联考)已知,危)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x0,1时，J(x)=2x1,则函数g(x)=火x)1og5x的零点个数是()A.2B.4C.6D.8答案D解析当x0,1时,段)=2'1,函数y=U)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数的图象.函数y=1og5的图象关于y轴对称，函数y=g()的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y=1og5x>h此时两函数图象无交点，如图,又两函数的图象在QO上有4个交点，由对称性知它们在XVO上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)=(x)-Iogs1x1的零点个数为8.考向2求参数的值或范围HInXx>0,例3(多选)设函数人幻=”八若函数g(x)=U)-b有三个零点，则实数b可取Ie(X+1),x¾0.的值可能是()A.0B.gC.D.I答案BCD解析函数g(x)=J(x)-b有三个零点等价于函数y=7U)的图象与函数y=b的图象有三个不同的交点，当XWO时，风r)=+1)F,则，(X)=ev+(x+1)er=(x+2)er,所以兀r)在(-8,2)上单调递减，在(一2,0上单调递增，且4-2)=一%,40)=1,Iim/()=0,通过图象可知，若函数y=的图象与函数y二方的图象有三个不同的交点，则方(0,1.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)(2023北京顺义区模拟)已知函数加:)=3'一一若存在xo(-8,-1),使得/(xo)=O,则实数。的取值范围是()解析由负)=3*_1Aa'=°，可得=3'-5，令g(x)=3x-5,其中X£(8,1),由于存在即(-8,1),使得“vo)=o,则实数4的取值范围即为函数g(x)在(一8,1)上的值域.由于函数y=3Zy=：在区间(-8,1)上均单调递增，所以函数g(x)在(-8,一)上单调递增.1 4当X(-8,I)时，5(x)=3'v-31+1=y又(x)=3r-p,所以函数g(x)在(一8,1)上的值域为(0,因此实数的取值范围是(,I)(2)函数於)=±+2cos(x+2021)兀在区间3,5上所有零点的和等于()I1*IA.2B.4C.6D.8答案D解析,*()=.-111÷2cos(x+2021)=.J“-2cosx,令J(X)=0,则；Ji=2cosXV,IX1|则函数的零点就是函数y=言j的图象和函数y=2cosx的图象交点的横坐标，可得y=1和'=2cos的函数图象都关于直线x=1对称，则交点也关于直线x=1对称,画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数y=的图象和函数y=2cos心的图象在-3,5上有8个交点，即Kr)有8个零点，且关于直线x=1对称，故所有零点的和为4X2=8.考点三函数模型及其应用【核心提炼】解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.例4(1)(2023新高考全国I)基本再生数RO与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：W)=e”描述累计感染病例数/随时间，(单位：天)的变化规律，指数增长率与Ro,T近似满足Ro=I+”.有学者基于已有数据估计出%=328,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(In20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由Ro=I+，Ro=3.28,7=6,由题意知，累计感染病例数增加1倍,则S)=2(),即e°3M=2e°3M,所以e°385"=2,即0.38S11)=In2,(XEIn20.6910所以数一八=森七强618(2)(2023阜阳模拟)2023年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2ms,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84ms,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取In0.7比一0.357,In0.93七-0.073)()A.4B.5C.6D.7答案C解析设石片第次“打水漂”时的速率为,则VW=II.2X0.93"1由11.2×0.93-,<7.84,0.93w-,<0.7,则（一I）In0.93<1n0.7,af1In0.70.357t即上百丽T与而T4.89,则心5.89,故至少需要“打水漂”的次数为6.规律方法（1）构建函数模型解决实际问题的失分点不能选择相应变量得到函数模型.构建的函数模型有误.忽视函数模型中变量的实际意义.（2）解决新概念信息题的关键仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析.有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.跟踪演练3（1）（2023济南质检）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是合,空气的温度是取,那么fmin后物体的温度。（单位：C）满足公式9=W+（4一W）e'（其中Z为常数）.现有52C的物体放在12C的空气中冷却,2min后物体的温度是32C.则再经过4min该物体的温度可冷却到（）A.12B.14.5C.17D.22答案C解析由题意得32=12+40e一汽Me-2=,则再经过4min该物体的温度可冷却到<9=12+40e6*=12+40×（j=17（）.（2）（2023.武汉模拟）物理学规定音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为/的声波，其音量的大小可由如下公式计算："=IO1g太其中/o是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，飞机起飞时的音量约为120dB,则120dB声音的声波强度4是40dB声音的声波强度I2的（）A. 3倍B.IO3倍C.U倍D.倍答案D解析依题意知“=10IgS故120=IO1gy,40=1OIg今,12=苗，4=威，1°,2=1°4=o112,2=o1所以卷=苗=°）专题强化练一、单项选择题1 .寻函数Kr）满足4）=3火2）,则等于（）A.；B.3C.一；D.3答案A解析设察函数贝X）=£，则4=3×2,解得Q=Iog23,所以段）=j%3,所以的）=2%3=:2 .（2023潍坊模拟）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:X-2-1123y0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型3,方为待定系数）中，最能反映-y函数关系的是（）bA.y=a-hxB.y=+qD.y=a-rbC.y=+1ogz答案D解析作出散点图（图略），由图知其图象与指数函数图象相似，故选D.3 .（2023太原模拟）在同一直角坐标系中，指数函数），=©）,二次函数y=加一区的图象可能是（）答案B解析指数函数y=g的图象位于X轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数y=r2公=（OX一切r,有零点'0.A,B选项中，指数函数y=（5在R上单调递增，故，,故A错误，B正确.C,D选项中，指数函数y=g>在R上单调递减，故04<1,故C,D错误.4 .教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，