专题一 第5讲 函数的极值最值 3.docx

第5讲函数的极值、最值考情分析利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.考点一利用导数研究函数的极值【核心提炼】判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数(X)的变号零点，即为函数贝幻的极值点.(2)利用函数/(X)的单调性可得函数的极值点.例1已知函数yU)=01nx+=v2-(+I)X+1.(1)当。=0时，求曲线y=(>)在点(2,火2)处的切线方程；(2)若函数KV)在x=1处取得极小值，求实数。的取值范围.解(1)当。=0时，兀0=521+1.所以/()=x-1,所以&=F(2)=1,因为42)=：X222+1=1,所以切线方程为y=-1(2)函数段)的定义域为(O,+).因为v)=Hnx+声-(«÷1)x÷1,统/a1.x2(+1)x+所以/(x)=j+-1=令/(X)=0，即(+1)x+=0,解得x=1或x=a当W0时，当X变化时，/(%),应0的变化情况如表所示：X(0,1)1(1,+)f(X)一0+极小值Z所以当x=1时，式幻取得极小值.所以0成立.当0<<1时，当X变化时，f(X),/(x)的变化情况如表所示.X(0,a)a3D1(1,+)f(X)+00+Z极大值极小值Z所以当X=I时，Kr)取得极小值.所以(X4<1成立.当=1时，/(x)20在(0,+8)上恒成立，所以函数Ar)在(0,+8)上单调递增，没有极小值，不成立.当时，当X变化时，/(幻，人冷的变化情况如表所示.X(0,1)1(1»4)a(m+)f(X)+O一O+/极大值极小值/所以当X=I时，Kr)取得极大值.所以A1不成立.综上所述，a<.易错提醒(1)不能忽略函数的定义域.(2/(M)=O是可导函数火X)在X=Xo处取得极值的必要不充分条件，即/(4)的变号零点才是火X)的极值点，所以判断Kr)的极值点时，除了找/。)=0的实数根冲外，还需判断KX)在XO左侧和右侧的单调性.(3)函数的极小值不一定比极大值小.跟踪演练1(1)(2023全国乙卷)设0,若x=为函数人幻=。(不一。)2(X与的极大值点，则()A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2答案D解析方法一(分类与整合法)因为函数7(x)=(-)，所以，(x)=2a(-a)(x-h)aI2b÷a(xa)2=a(x-a)(3xa2b).令/(X)=0,结合K0可得x=或X=巴一当a>Q时，若弯Ma,即历此时易知函数TW在(-8,©上单调递增，在Q,竺产)上单调递减，所以X=。为函数)的极大值点，满足题意；若生产=小即力=小此时函数r)=(-)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意;若即Xm此时易知函数Ar)在(土产，上单调递减，在(4,+8)上单调递增，所以x=为函数"x)的极小值点，不满足题意.(2)当a<0时，若号2>,即b>,此时易知函数兀O在(-8,0上单调递减，在Q,W灯上单调递增,所以1=。为函数於)的极小值点，不满足题意；若幺十=,即b=m此时函数<X)=(-)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意;若产<小即Xm此时易知函数次幻在然4，上单调递增，在3,+8)上单调递减,所以x=为函数/)的极大值点，满足题意.综上，a>0且比>。满足题意，<O且板。也满足题意.因此，可知必有外>标成立.方法二当=1,6=2时，函数y(x)=(x-1)2(x-2),画出该函数的图象如图1所示，可知X=I为函数Ar)的极大值点，满足题意.从而，根据=1,b=2可判断选项B,C错误；当a=-,b=2时，函数外)=(x+1)2(+2),画出该函数的图象如图2所示，可知x=一1为函数T(X)的极大值点，满足题意.从而，根据。=-1,6=-2可判断选项A错误.方法三当>0时，根据题意画出函数加彳)的大致图象，如图3所示，观察可知历”当<O时，根据题意画出函数负力的大致图象，如图4所示，观察可知而山.综上，可知必有出Aa2成立.(2)(2023湘潭模拟)已知函数加0=k一0r2+20r有两个极值点，则的取值范围是()A.(e,÷)B.&+8)C.(e2,+)D.仔，+8)答案D解析因为Ct)=ex-0+2v有两个极值点，所以/(X)=O有两个不同实数根，所以e一20r+2=0有两个不同实数根，所以e，=2a(x1)有两个不同实数根，显然W0,1Y-I所以或=丁有两个不同实数根，、一-1,2X记g(x)=-p-，g(X)=-I当x(-8,2)时，g,(x)>0;当x(2,+),g,(x)<0,所以g(x)在(一8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，所以g(x)ma=g(2)=F,又因为当x(-8,I时，g()O;当x(1,2)时，g(x)(,目；当x2,+8)时，g)w(o,所以当/=*有两个不同实数根时，(o,3，所以2>e2,所以a>y.考点二利用导数研究函数的最值【核心提炼】1 .求函数Kr)在,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在3,力)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值扎7),fib).(3)将函数於)的各极值与加)，胆)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2 .若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.例2(D函数Ar)=Or3-6av2+b在区间-1,2上的最大值为3,最小值为一29(>0),则mb的值为()A.=2,Z?=-29B.=3,b=2C.a=2,b=3D.以上都不对答案C解析函数7(%)的导数/(x)=30r2-120r=3r(-4),因为A0,所以由/(x)<0,计算得出0<r<4,此时函数单调递减，由F(X)>0,计算得出x>4或XVO,此时函数单调递增，即函数在上单调递增，在0,2上单调递减，即函数在X=O处取得极大值同时也是最大值，则<0)=b=3,则yW=0r3-60r2+3,艮1)=7。+3,丸2)=-16+3,则人一1)次2),即函数的最小值为火2)=16+3=29,计算得出=2,b=3.(2)(2023新高考全国I)函数4)=|太一1|一21111的最小值为.答案1解析函数贝X)=I2x1|-2InX的定义域为(0,+).当QT时，")=2-1-21nx,所以F(x)=2-=2x1当Ta<1时，/(x)<0,当Q1时，/(x)>0,所以/Wmin=/(1)=2121n1=1;当O<xT时，於)=1一"一2后工在(0,上单调递减，所以段)min=/&=-21K=21n2=In4>1ne=1.综上，/(x)min=1.易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.跟踪演练2(1)(2023.重庆联考)函数兀O=X+2COSX在0,兀上的最大值为()A.兀-2C.2D.÷3答案D解析由题意得，f(%)=12sin%,/.当OwSinx,即X在o,皆和愕，兀上时，f()o,yw单调递增；当g<sinx1,即X在痣，裔上时，f(x)<0,y(x)单调递减；V/W有极大值尼)=5+小，有极小值/倍)=普一小，而端点值/(0)=2,y()=-2,则/(觊O)X)"闺，.&)在0,上的最大值为专+5.(2)(2023.芜湖模拟)已知关于的不等式N以221nX恒成立，则实数a的取值范围为()A.(一8,1B.(0,1D.(8,0c(o/_答案A解析因为不等式x3-a21nx恒成立，所以不等式aWx一当在(0,+8)上恒成立,aInxrtt,zX3-I+2InX令g)=-qr,则g(X)=p，2令MX)=X3-1+2InjG则。)=3/+?>0，所以"x)在(0,+8)上单调递增，又(I)=0,所以当OaV1时，()<O,即g'(力<0,当QI时，MK)>0,即g'。)>0,所以当X=I时，g(x)取得最小值g(1)=1,所以4W1考点三导数的简单应用【核心提炼】构造函数解方程、不等式的解题策略观察题设，化简变形所给的条件，构造函数使化简变形后的代数式为所构造新函数的函数值,再利用新函数的单调性解方程或不等式.例3(1)(2023威海模拟)若关于X的方程InX-Or=/在(0,十8)上有两个不等的实数根,B.(一8,-1)D.(-1,+)则实数。的取值范围为()A.(8,1C.-1,+)答案B解析因为Inx-Or=X2,所以4设兀V)=乎一X,r-1InX1In-1则F=-1=设g(x)=1Mx2,>o,则g'(X)=一1-2x<0,所以g(x)=1一如XV在(0,+8)上单调递减，g(1)=0.故当x(O,1)时，g(x)>O,即/(x)>0;当x(1,+8)时，g()<o,即/()<0.故处O=乎一X在(0,1)上单调递增，在(1，+8)上单调递减.y()ma=yu)=-i,且-*0时，00；X-*+8时，J(X)fOO,Inrya与大幻=一X的图象有两个交点，则"的取值范围为(一8,1).(2)(2023包头检测)若e2。+/i)2=e。+如一1)2,贝")A.a>2bB.a=2bC.a<2bD.a>b2答案B解析设x)=(-1)2e-x,Qx1则f(x)=-1+er,设g(x)=-1÷e-r,则g,(x)=1ev=e.v,g,(x)>O=>x>O=,(X)在(0,+8)上单调递增；g,(x)<O>x<O=v。)在(一8,0)上单调递减，所以/Wmin=/(0)=0,即，)20恒成立，又因为Kr)=I(X1)2广不是常函数，所以Z(X)=T(X1)2er在(一8,+8)上单调递增，e2z,÷(f1-1)2=e-rt+(2Z?-1)2化为:31尸一e"=(28一I)2e2z,即)=f12b)=>a=2b.易错提醒(1)分离参数时，等式或不等式两边符号变化、以及除数能否等于0,易忽视.作图时，端点值的变化趋势易忽视.跟踪演练3(2023晋中模拟)若存在实数X,y满足InX-X+32e'+e',则x+y等于()A.1B.OC.1D.e答案C解析令函数Kr)=InjVX+3,11Y可得/=71=-当x(o,D时，f>o,y单调递增；当x(1,+8)时，(X)VO,式外单调递减，所以当x=1时，可得於)m