第2部分 专题6 第6讲 利用导数解决函数零点或方程根问题.docx
利用导数解决函数零点或方程根问题考点1根据参数确定函数零点的个数龄高考串讲找规律(2023.新高考卷II节选)己知函数於)=(x1)eA-Or2+/?.从下面两个条件中选一个，证明：兀0有一个零点.1e2b>2a0<aV；,bS2a.证明1函数y(x)=(-1)ev-ar2+/?,f'(x)=ReA-2ax=x(eA-2a),若选，当>g时，令/=0,解得XI=0,X2=1n2tz>0,所以当JVVO时，f,(x)>ot函数yu)单调递增，当OVXV1n2时，/3V0,函数«r)单调递减，当x>1n2时，:(x)>0,函数於)单调递增，由儿E)在(一8,0)上单调递增且40)=。-1>2a-1>0,f可得加r)在(一8,0)上有唯一零点，由兀r)在(0,In2。)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增，且川n2)=(1n2«1)2-1n2(2)÷>(1n2a1)2a-avr(2a)+2a=a(2In2O)1n2a>01所以在(0,1n24)及(In24,+8)上没有零点，所以«r)只有一个零点.若选，当OVaVT时,令广(X)=0,解得笛=0,X2=1n2oV0,所以当rV1n2时，/(x)>0,函数_/U)单调递增,当In2VxVO时，/VO,函数U)单调递减，当五>0时，,(x)>0,函数代r)单调递增.因为in2)=(1n2。一1)2q-H2(2G)+bW(In2a-2aarr(2a)+2a=a(2-In2)1n2a<0f所以«r)在(一8,0)没有零点，设g(%)=eA-X-Ia>i),则g')=e"->o,所以g(x)在(1,+8)上是增函数，g()>g(1)=e2>0,所以x>1时，y(x)=(-1)ex-6zx2÷>(-1)(x+1)2÷Z?=2-1+bf所以当x>1且;f-1+b>O时，段)>0,又/U)在(0,+8)上递增，且10)=人一1W2-1V0,所以/(x)在(0,+8)上有唯一零点，所以“r)只有一个零点.I鼬解读命题规律：以函数零点个数的判定为纽带，考查导数在研究函数图象变化中的作用，考查学生的逻辑推理能力及数学运算的素养.通性通法：三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与X轴(或直线y=A)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.C考题变迁提素养1I导数与零点存在定理交汇1(2023肇庆二模)已知函数x)=x2-X1n%x)+(+1)1nx,(1)当=2时，讨论y=/&)的单调性；(2)设y=广是函数段)的导函数,讨论函数y=/(x)在1，e上的零点个数.解1(1次X)的定义域为(。，+).。+1f,(x)=xan-v,.。+1令h(x)=f,(x)=-anx+则,(x)=1-4+1x-(o+1)(x+1),(X3)(÷1)当。=2时，hx)=31令*(x)=0,解得x=3,在(0,3)上令(X)V0,在(3,+8)上"()>o,所以y=z(x)在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，且人(3)=4-2In3>0,所以/(x)X)在(0,+8)上恒成立，所以函数儿E)在(0,+8)上单调递增.(2)当iz>e-1时，即a+>Q时，当x(1,e)时，hx)<O9故人(X)在(1,e)上单调递减.(1)=2+>0,z(e)=e+-=4g-1)+e+±He2+1+e+>O,即<时,>0在1,e上恒成立，ec-1e2+所以e1<“<时，力(X)在1，e上无零点.C1当z(e)<O,即g-1)+e+:WO,e2+1即。时，M1)(e)O.由零点存在定理可知，此时z(x)在口，e上有零点.又因为函数(x)在1,e上单调递减，所以此时力(尢)在1,e上有一个零点.当0时，即d+11时，当x(1,e)时，"(x)>0,所以力(X)在(1,e)上单调递增.z(1)=2+,z(e)=g-1)+e+>O.当z(1)=2+W0,即W-2时，(1)z(e)O.由零点存在定理，知此时(x)在口，e上有零点.因为人在1,e上单调递增，故限r)在口，e上仅有1个零点.当一2<<0时，(x)min=(1)>O,此时为在口,e上无零点.当0<ae-1,即k+1We时，当x(1,。+1)时，h,(x)<Of当x(+1,e)时，h,(x)>Of则函数Zz(X)在(1,。+1)上单调递减，在(+1,e)上单调递增，故z(x)min=z(+1)=+2-Hn(÷1).令g(。)=力(+1)=+2-41n(+1),则g'()=-In(÷1),所以g'()在(0,e1上单调递减，且g，(O)=I>o,e-1)=1<0,所以g()在(0,e1上先增后减.又g(°)=g(e-1)=2,所以M(X)min=M+1)22,&h(x)X)f此时Zz在1,e上无零点.9+综上所述，当W-2或=T时，y='(x)在口，e上有1个零点；当一e2+12<dV羡Tf时，y=)在1，e上无零点.2.与三角函数交汇的零点综合问题已知函数/)=1nX-+2sinx,ff(x)为7U)的导函数.(1)求证：尸(幻在(0,)上存在唯一零点；(2)求证：yu)有且仅有两个不同的零点.证明(1)设gM=f,(x)=-1+2cos,当Xe(0,兀)时，,(x)=-2sin-2<0,所以g(x)在(0,)上单调递减，又因为g(*+>o,g(f<o,所以g(x)在停，号上有唯一的零点Q,所以命题得证.(2)由知,当x(0,)时，/(x)>0,/U)在(0,0)上单调递增；当x(g,兀)时，f,(-v)<0,於)在Q)上单调递减，所以外)在(0,)上存在唯一的极大值k(n点J<<2,所以/(a)"?)=!-+2>2-J>0,又因为/()=一2一5+2Sin<-2-+2<0,WXVVV所以Ar)在(0,a)上恰有一个零点，又因为/()=1n-<2-<0,所以/(x)在(a,)上也恰有一个零点.当W,2)时，sinx0,y(x)1n-x,设h(x)=1n-f则'(x)=-1<0,所以h(x)在,2)上单调递减，所以力(X)W()<0,所以当工£兀，2兀)时，火X)W力(x)Wi()vO恒成立，所以/U)在兀，2)上没有零点.当x2,+)Bt,/(x)1n-+2,设9(x)=1nX-÷2,则“(1)=：-1<0,所以(P(X)在2,+8)上单调递减，所以W(X)(2)<0,所以当x2兀，+8)时，409(工)9(2兀)<0恒成立，所以/U)在2兀，+8)上没有零点.综上，/U)有且仅有两个不同的零点.考点2根据函数零点的个数确定参数的范围C高考串讲找规律1. (2023全国卷甲节选)已知。>0且W1,函数Kr)=*(x>0)若曲线y=AX)与直线y=1有且仅有两个交点，求。的取值范围.解曲线y=U)与直线y=1有且仅有两个交点，可转化为方程*=1(QO)有两个不同的解，即方程乎=乎有两个不同的解.,rtInx,1I-InX1g(x)=-(x>0),则g'(x)=-pU>O),1Inx,g令g'(x)=-p=O,付x=e,当O<veB寸，g,(x)>Of函数g(x)单调递增，当x>e时，g<x)V0,函数g(x)单调递减，故g)max=g(e)=5,且当x>e时，g(x)(,J,又g(1)=O,所以OV工工V：,所以。>1且4We,即。的取值范围为(1,e)U(e,+o°).2. (2023全国卷I)已知函数yU)=eX-o(x+2).(1)当。=1时，讨论於)的单调性；(2)若段)有两个零点，求。的取值范围.解当。=1时，於)=ev-2,则/(x)=ev1,当XVO时，/(X)V0；当>0时，(x)>0,所以/U)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.(2)fx)=ex-a.当0时，f&)>0,所以7U)在(-8,+8)上单调递增，故人)至多存在一个零点，不合题意.当4>o时，由/(X)=O可得X=Ina.当jt(-8,Ina)时，/(x)<0;当x(1nat+8)时，.(X)>0.所以兀V)在(一8,Ina)上单调递减，在(In，+8)上单调递增.故当X=InQ时，«x)取得最小值，最小值为y(1na)=(1+1n).(i)若OVaW1则与na)20,7U)在(一8,十8)至多存在一个零点，不合C题意.(ii)若a>t则ino)<0.C由于人-2)=e20,所以人幻在(一8,Ina)存在唯一零点.XX由知，当x>2时，ev-2>0,所以当Q4且x>21n(2a)时，tU)=e2.e2一a(x+2)n(2a)(>e北+2)4(x+2)=2q>0.故/U)在(Inm+8)存在唯一零点.从而於)在(-8,+8)有两个零点.综上，的取值范围是+8).端考解读,命题规律：选取两类基本初等函数，借助参数相互融合，考查学生的分类讨论的意识，逻辑推理的能力及数学运算的素养，难度较大.通性通法：已知函数零点求参数范围的一般步骤(1)求导并分析函数的单调情况；(2)依据题意，大体画出相应函数的草图，数形结合分析函数的极值点；(3)建立不等关系并求解：依据零点的个数建立与极值相关的不等式，求解得到参数的范围.c>考题变迁提素养募函数与对数函数交汇已知函数40=%Hnx,若>O,函数兀V)在区间(1,e)上恰有两个零点，求。的取值范围.解I段)=$1n的定义域为(O,+),因为。>0,由广(幻>0,得心S，fx)<Of得O<x<ya.即«r)在(0,5)上单调递减，在(g,+8)上单调递增.若、<1,即0<W1时，7U)在(1,e)上单调递增，TO)=3,7U)在区间(1,e)上无零点.若1<<e,即IafVe2时，Kr)在(1,5)上单调递减，在(g,e)上单调递增,火x)min=(W)=%(1In).兀0在区间(1,e)上恰有两个零点,C1e<<e2.yo)=5>o,)=(1-In4)<0,e)=e2->0,若夜大，即时,於)在(1,e)上单调递减,川)=表0,代)=聂一<0,兀0在区间(1,e)上有一个零点.综上，/()在区间(1,e)上恰有两个零点时，4的取值范围是卜，/e2).
