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概率论第章习题参考解答概率论第4章习题参考解答1.若每次射击中靶的概率为，求射击10炮，命中3炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮.解：设W为射击10炮命中的炮数，则"B(10,命中3炮的概率为P=3=C3.73×0.37=10至少命中3炮的概率，为1减去命中不到3炮的概率，为P>3=1-P<3=1-2Ci×0.7i×0.3w-i=10I=O因np+p=10X+=不是整数，因此最可能命中二7炮.2 .在一定条件下生产某种产品的废品率为，求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解：设自为10件产品中的废品数，则B(10,则废品数不超过2个的概率为P<2=2Ci×0.01i×0.99o-i=10»=03 .某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为，若假定各机床是否开动彼此独立，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解：设每时刻机床开动的数目为,则gB(20,假设这个车间消耗的电能为n个单位，则n=15,因此270Pv270=P15>270=P_=P>18=15=E20Ci×0.8×0.22o-i=0.2061i=184 .从一批废品率为的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于的概率.解：设这20个产品中的废品数为8,则(20,假设这20个产品中的废品率为,则n=20.因此P0.15=PX0.15=Pg3=3Cx.1二2020i.O5 .生产某种产品的废品率为，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.解：设为这20件产品中的废品数，则B(20),又通过检查已经知道定不少于2件的条件，则要求的是条件概率P3|2=P&3n12P2因事件E2nS3,113r2)=E2*。P=i-P=2P=22°P-iia2CZZX21Qk(Qfti：1-z一产一因此i2Z>P=ii21Pk2:1-i->i040.2852C：1-：0.53120.60836.抛掷4颗骰子，g为出现1点的骰子数目，求&的概率分布,分布函数，以及出现1点的骰子数目的最可能值.解：因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则B(4,1/6),因此1(5、4_kP=k=Ck×12(k=0,1,2,3,4),46k1)0X<0F(x)=(0x<41X4或者算出具体的值如下所示：01234P0x<00.48230x<110.86811x<2F(X)=<0.98382x<30.99923x<41X4从分布表可以看出最可能值为0,或者np÷p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数，因此最可能值为56=0.7.事件A在每次试验中出现的概率为，进行19次独立试验，求出现次数的平均值和标准差；(2)最可能出现的次数.解：设19次试验中事件A出现次数为,贝U&B(19,因此(1) g的数学期望为E=np=19×=方差为D=np(1-p)=19×X=标准差为=9白蹲？1997因np+p=+=6为整数，因此最可能值为5和6.8 .已知随机变量服从二项分布，E=12,D=8,求P和n.解：由E=np=12(1)和D=np(1-p)=8由(1)得n=12p,代入到得12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=代回到(1)式得n=12到=12X得369 .某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求一天10小时内，平均有多少时间台秤不够用.解：每个时刻构成一n=4的贝努里试验，且p=1560=,因此，设&为每个时刻要用秤的售货员数，则gB(4,当g>2时，台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为P(>2)=C3×0.253×0.75+0.254=4因此10个小时内平均有XIO二个小时台秤不够用.10 .已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解：设W为4次试验中的成功数，则B(4,p),事件没有全部失败即事件>0,而事件试验成功不止一次即事件>1,因此要求的是条件概率P>1>0),又因事件1>1被事件1>0包含，因此这两个事件的交仍然是O1),因此1-c4-4pq3q4其中q=1-p11. 服从参数为2,P的二项分布，已知P(821)=5/9,那么成功率为P的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少解：因B(2,p),则必有P(飞>1)=1P(飞=0)=1(1p)2=59,解得(1-p)2=1-5/9=4/91 -p=23p=1-2/3=1/3则假设n为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数，“B(4,1/3),则P(n>1)=1-p(n=0)=1-(1-p)4=1-(IgY=1-2=0.802(3)8112. 一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率解：设g为抽取4个中的废品数，则&服从超几何分布，且有PnS共2二长'515_=C4i=02013 .如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算，并比较其结果.产品的废品率为，从IOOO个产品中任意抽取3个，求废品数为1的概率.解：设任抽3个中的废品数为1则&服从超几何分布，废品数为×1000=100DJ-V11G金PC=1=1=C31000而如果用二项分布近似计算，n=3,p=,gB(3,P=1CO.1×0.92=3近似误差为，是非常准确的.14 .从一副朴克牌(52张)中发出5张，求其中黑桃张数的概率分解：设自为发出的5张中黑桃的张数，则W服从超几何分布，则Pc=i=1352-1(i=0,1,2,3,4,5)5205则按上式计算出概率分布如下表所示：012345P15 .从大批发芽率为的种子中，任取10粒，求发芽粒数不小于8粒的概率.解：设g为10粒种子中发芽的粒数，则&服从超几何分布，但可以用二项分布近似，其中p=,n=10,则P8=10Ci×O.8i×O.2o-i=10i=816. 一批产品的废品率为，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率.解：设自为800件产品中的废品数，则自服从超几何分布，可以用二项分布近似，则(800,而因为试验次数很大废品率则很小，可以用普阿松分布近似，参数为=npzz800×=Pc=25082-2e4）.8=0.1438P£22竺1e-0,8=0.9526i!k17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品，求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解：设g为产品表面上的疵点数，则（服从普哇松分布，=,设R为产品的价值，是自的函数.则产品为废品的概率为P>4=1-P4=1-41e）.8=0.0014ioHPv=10=P1=1空e-0,8=i=oHPv=8=P1<4=421e-08=i=2H则产品的平均价值为En=10×P=10+8×Pn=8=IOX+8X=（元）18. 一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解：设g为每页上的印刷错误数目，则8服从普哇松分布，入=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为P<4=42'-.je=i=0而IOO页上的印刷错误都不超过4个的概率为p飞共4100=19. 某型号电子管的“寿命”&服从指数分布，如果它的平均寿命E&=IoOO小时，写出自的概率密度，并计算P(IOo(K1200).解：因E=1000=1/,其概率密度为n-/K_aatX>0P(X)一(1ocoIOX共OIoOO1200P(1000<飞共1200)=e'1oro-10=-e”=0.066720. "N(O,1),(x)是它的分布函数，(x)是它的概率密度，00(0),(0),P(go)各是什么值00解：因有P(x)=_1ef>个(X)=J_1eVdt因此(X)为偶函数，由0F0F,0-W对称性可知(0)=,0并有P(O)=-1,°2r因为连续型随机变量，取任何值的概率都为0,即P(=0)=0.21 .求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下，还可以继续使用100小时而不坏的概率解：要求的概率为P(>600>500),因此P飞>600I飞>500)=，吊"3=e°=3=0.905P>500io22 .若自服从具有n个自由度的X1分布，证明尾的概率密度为OX<O称此分为为具有n个自由度的x-分布证：设n=J,则因&的概率密度函数为(12iI×21e2X>OQ(X)=2%£)|飞(2)HOX共0n的分布函数为F(X)=P(n共x)=P(FtX)=P(飞共X2)=F(X2)(x>0)n飞对两边求导得Q(X)=2×Q(X2)=2xn24=ef(X>0)n飞2加，2,TT(In)I(2)(2)23 .&飞(Oj),求P0,P<3,PO<5),P>3,P-1<<3解：根据之的对称性质及查表得:P0=1-(O)=OP<3二2-1=2X=0P0<5=P>3=1-P(3)=OP-1<<3=(3)-(-1)=(3)+(1)-1=+=OOOO24 .自飞(,。”,为什么说事件I-P|<2。在一次试验中几乎必然出现解：因为农一r-QN(O,1)P农-r<2Q二P标<2=2C(2)-1=2A0.97725-1=0.9545欢1因此在一次试验中几乎必然出现.25 .N(10,22),求P(I(K<13),P(>13),P(-10<2).解：因为农TO,N(OJ)P10<农<13=P0<农一1°<1.5=C(1.5)C(O)=0.933190.5=0.43319200P农>13=P-10>1.5=1-C(1.5)=1-0.93319=0.0668120P农-10<2=Pf<1=2C(1)1=2A0.84131=0.682626