第十九二十讲 导数问题中的隐零点极值点一二教师版2公开课教案教学设计课件资料.docx
第十九讲导数问题中的隐零点与极值点（一）> 导数零点无法求出时，可根据零点存在定理判断零点数量与范围> 利用零点满足的方程，化简目标函数或要证的不等式> 导数零点（极值点）是二次方程的两根，可利用韦达定理减少目标函数或不等式中的变量*注意（1）消参选择，（2）变量范围（例1,练习）*注意方程的化简！利用指数对数方程的同型特征，例如xex=-nx,-Inx+X=-Iny+y（例3）XXy例1.（2019西湖区校级模拟）设函数f（x）=2+HmI+X）有两个极值点内，X2,且X<2.（1）求。的取值范围，并讨论了（x）的单调性.（2）证明：/（2）>上匚蛆.4【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出。的范围，从而求出函数的单调区间即可；（2）求出/（X2）=X1-2X2（1+X2）In（1+x2）,设函数g（/）=Z2-2r（1+/）In（1+/）,根据函数的单调性证明即可.【解答】（1）由题意知，函数/（x）的定义域是x>-1,2f4-9Jt+af（x）=三二，且，（X）=O有两个不同的大于-1的实数根也，x+1故2x2+2x+a=0的判别式=4-8>0,即a<1f且Jq=-I-2-,应=TWI-2二,又x>-1,故>0,因此的取值范围是（0,1）,2当X变化时/'（X）与，（X）的变化情况如下表:222X(-1,XI)X1(XI»X2)X1（X2，+8）fG)+0-0+/(x)递增极大值递减极小值递增因此的取值范围是（0,-1）；2f（）在区间（-1,XI）和（X2，+o°）是增函数，在（41，42）上是减函数.则g'(Z)=-2(1+2/)In(1+Z),当I=-I时，g'(/)=0,2当作(-10)时，g'(/)>0,故g(/)在-2，0)上是增函数.22于是，当f(-工，0),g(Z)>g(-1)=1-212,224因此/(X2)=g(X2)>121n2.4【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题.例2(2023春花山区校级月考)已知函数f(x)=x1nx,g(x)=x2-x.(1)求证/(x)g(x),对x>O恒成立.(2)若kwZ,不等式Z(X-I)V/(x)+x,在x(1,+)恒成立，求女的最大值.【分析】(1)令力(X)=1nx-xU(x>0),求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可；(2)问题转化为k<x+x1nx,令P(X)=X+'In、(>),求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最-1-1小值，求出攵的最大值即可.【解答】解：(1)证明：令h(X)=w-÷1(x>0),则h，(X)J-1，X由h'(X)=>Qf°<<1，由h'(X)=T<0得">1XX：.h(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，.h(x)Wh(1)=0,.*.zzxx-1,因此WnxWx2-x,即/(x)g(x),对x>0恒成立.(2)由(x-1)<x+x!nx(x>1),得k<生皿-1令P卷ZD，11,/、(2+1nx)(-1)-(x+x1nx)x-2-1nx则P(X)=93，(-1)2(XT)2令t(X)=x-2-Inxf则t'(x)=1->0*tG)在(+8)上单调递增，X又(3)<0.t(4)>0,故mxo(3,4),使f(;CO)=0,p(X)在(1,xo)上单调递减，在(X0，÷o°)上单调递增,:P(%)最小为P(XD)=×o+xo1nxox0+x0(x0-2)x017i=XQ，.攵最大为3.练习1.(2023春南京期末)(练习)已知函数/(幻=",-以2+不(。>0).X(1)若/*)是单调函数，求。的取值范围；(2)若/3有两个极值点力,2,证明：/(x1)+(x2)>3-22.【分析】(1)利用导数符号与函数单调性的关系分“4=14d0且40”和“A=1-440且。>0”两种情况讨论即可；(2)把/Gi)+(x2)用。表示，再构造函数，结合新函数的单调性即可证明原不等式.【解答】解：f(x)=2-2x+2a1nx(x>0)，f'(x)=2-2+-(2-+a),方程-的判别式XX=14。，当=1-40且。>0,即a>时，此时x2-+0在(0,+8)上恒成立，即，()0在(0,+oo)上恒成立，故/(x)在(O,+)上单调递增；当A=I-44>0且。>0,即o<a<时，令x2÷=0,解得X上五运二1÷7,其中OVX1VX2，xI222令/(X)>0,解得o<<±正豆或>M1运；令/(X)<0,解得1一五后<<÷i逅,2222所以G）在（O,豆）上单调递增，在（上年豆，上与豆）上单调递减，在（上哼豆，KDO）上单调递增.综上所述，当时，/（X）在（0,+8）上单调递增；当o<a<时，/G）在（0,上年豆）上单调递增，在日年豆，上哼豆）上单调递减，在（上哼豆，KO）上单调递增.（2）证明：因为函数/（x）有两个极值点Xi,X2,则方程2-x÷=0有两个不相等的正根，'=1-4a>0所以丁>°,解得o<a<g由韦达定理可得x+x1,xxs>=a<?4IZ1|；>0则f（X1）+f（乂2）=x1-2x+2a1nx+x-2x2+2a1nx2,_(x1+x2)2-2x1x22(x1+x2)+2a1n(xX2)=2a1na-2a-r令g(X)=2x1nx-2x-1,g,(x)=2(1+x)-2=I1nx,当0<x<时，g'(“)Vdg(X)单调递减，所以g()g。)=Tn2-日I是2a1na-2a-1>Tn2-W即f(xt)+f(x2)>Tn2-J练习2.(2023秋诸暨市期末)已知函数/G)=OXeaX出X，a>0.(/)若=1,记/(x)的最小值为机，求证：m>-+12.3(II)方程/'(X)=ax+b,Z>R有两个不同的实根Xi,%2»且x+x2=2,求证：X1X2<C1Cae【分析】（1）当。=1时，/G）=xex-1nx,（x>0）,利用导数求其最小值加，再由函数的单调性证明结论；（2）由题意设0<制<垃，力=+加QKI,f2=QX2+“X2,问题转化为证明f1+2<0,设=/2-A（>0）,即证-2+1>“2",设（）=，-2/+1-2心再由导数研究其单调性，即可证明e22e”+1>Me”.【解答】证明：（1）当=1时，/（x）=-Mx,（x>0）,f，（）=（+1）ex-»X令g（x）=（x+）x一1,则g'（X）=（X+2）2、+占>0，得g（%）在（0,+8）上单调递增，XXj11又g（、）=e'TV。,g（、）=""e2-2>。,3J2N；3X0（4»y）,使得g（X。）=（打+1）e"T=O'当x（O,X0）时，g（X）<0,即/（x）<0,/（x）单调递减，当x（X0,+8）时，g（X）>0,即，（X）<0,/（x）单调递增.可得f(x)m:1n=f(xo)=XeX°-1nxC)=XQ(X：+)-InXOYy-InX0，即m=f(Xo)=-1nx,×0+1°；/(xo)在XQC(y,£)上单调递减，'m>fg)卷+1n2；(2)Y方程/(x)=ax+bt6R有两个不同的实根XX2>且x+x2=2,设OVJqVX2,由OXeaX-InX=OX+b,得eax+hax=1nax+ax+b-Inaf设t=ax+1naf则有et=t+b-Ina存在两个不相等的实根t,使得。=ax+1nax,(2=0x2+/奴2，可得A+2=a(x1+x2)+21na+1nxX2=2a+21na+1nxx2»要证X1Xo<CIC，只要证：1nxx2<-21na-2”，也就是证力+，2<0，ae由e"=t+bTna'et：=t2+b-1na,可得丁-e%=t2-11设=2-f1(w>0),可得en+%-e%=T则e'】=1-，e”二星二DD1JJ=Sen-1en-1要证f+f2<0,只要证6%6-=nUW，即证心-2"+1>2心en-1en-12设力()=e2w-2+1-2",则(ZZ)=2en(en-n-1)*设()=en-n-1,则'()=en-1,"()=en-1>0,.'()单调递增，可得U")>'(0)=0,则()在(0,+)上单调递增，2(w)>(0)=0,即力'()=26八(e“-勺-1)>°，：.h()在(0,÷)上单调递增，则()>g(0)=0,即/”2"+1>鸟.【点评】本题考查利用导数证明函数不等式，训练了利用导数求最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度较大.第二十讲导数问题中的隐零点与极值点(二)> 导数零点无法求出时，可根据零点存在定理判断零点数量与范围> 利用零点满足的方程，化简目标函数或要证的不等式> 导数零点(极值点)是二次方程的两根，可利用韦达定理减少目标函数或不等式中的变量，注意(1)消参选择，(2)变量范围(例1,练习)> 留意零点方程的化简！利用指数对数方程的同型特征,例如%/=-(1nx,-nx+x=O(例3)例3.(2023秋浙江月考)已知函数/(x)=x1nx-x-72,4WR.2(I)当=今时，证明：/(x)W0；e(II)若函数(x)=(x)-(-1)/+在(0,+8)上单调递减，求a的取值范围.9J【分析】(I)当。=4时，/(x)=XhIX-X气,求导分析单调性，求出/(x)wx0,即可得出答案.ee(II)根据题意可得(x)WO在(0,+8)上恒成立，即-Wxe'-：1nX-I在(0,+cx>)上恒成立，令PX=XeX-InX-1,(0,+),只需Wp(x)而“，即可得出答案.X【解答】解：(I)证明：当=马时，f(x)=X1nx-x-12=x-x-¾,2Q22eNeef(x)=1nx+x-1-=1nx-Y22xee令g(X)=Inx-(x>0),exeeX2所以在(0,号)上，g,G)>0,g(x)单调递增，2在+8)上，g,(X)<0,g(X)单调递减，e22222所以g(X)max=g)=1nW=1n-1=/且>0,22e222当Xfo时，g(X)f-8；Xf+8时，g(X)-OO,2所以在(O,j)上存在Xo，使得g(XO)=0,p22x1_在(f，+8)上存在Xi,使得g(X1)=0,即MXI=,2e所以在(0,3)，(x,+)上，g(x)<0,/(X)<0,/(x)单调递减，在(X0,M)上，g(X)>0,/(X)>0,/(x)
