专题2 等式与不等式1原卷版公开课教案教学设计课件资料.docx
专题2等式与不等式2. 1等式性质与不等式性质知识点一等式的基本性质1 .如果°=。，那么b=a.2 .如果a=，b=c,那么a=c3 .如果a=，那么a±c=Hc.4 .如果a=b,那么ac=hc.5 .如果a=Zbc0,那么知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>hb<aO2传递性a>b,b>c=>d>c不可逆3可加性a>b¢=>a+c>b+c可逆4可乘性a>b,c>O=>ac>bca>b,c<O0ac<bcC的符号5同向可加性a>b,c>da+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>O,c>d>O=ac>bd同向7可乘方性a>b>0W财(£N,”22)同正知识点三糖水不等式的性质定理：若a>Z?>0,n>0,则一定有+？>.,或者"+a+rnab-mb通俗的理解就是，克的不饱和糖水里含有8克糖，往糖水里面加入?克糖，则糖水更甜;、1ob+nbab+cun-ab-bin(a-b)mC证明：=$=>0a+rnaa+ama+ama+maab+hm-ah-am(a-h)m八=<(Jb+mbb2+bmb2+bm例题精选J1己知小b均为正实数.试利用作差法比较+护与4b+.按的大小.【例2】（2023上海）a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be【例3】若a>b>O,且必=1,则下列不等式成立的是（）IbA.+-<-<1og2(6r+b)C.ct+<1og2(+)<-【例4】若a>b,则()A.1n(a-b)>0B.3a<3hB.D.b.z.I<1og2(+b)<+-1z,.1b1og2(t+Z?)<+-<-C.3-Zj3>0D.a>b【例5】（2023上海）已知两两不相等的X,yi,x2,y2,X3,%，同时满足演vy，x2<y2,FVy3；N+X=r2+%=W+%；My+玉%=2后必，以下哪个选项恒成立（）A.2x2<x1+x3B.2x2>xi+x3C.xj<x1x3【例6】（2023沈河区模拟）下列说法正确的是（）A.若>0>0,贝ahB.若>/?>0,n>0»则"+>a+maD.若a>b>0,则>历2C.a>b>0>贝U'-Z>2人一从【例7】求证：22462-112ny2n+1【例8】已知正数4,b,满足av+c,求证:<+.a+b+c+1试题精选1. （2023抚顺县月考）下列结论正确的有（）A.若>6>0,则<>f2B.若a>b>O,则旌,C.若vb<O,则>W"D.若a<b<O,则2“<手2. （2023大名县期末）如果,b,ctdeR,则正确的是（）A.若>6,则"!<B.若>>,则ac2>bc2abC.若a>b,c>d»贝!1+c>6+4D.若a>b,c>d»贝IJaC>Z%3. （2023河南期中）若。是实数，P=2+10+a,0=2+6+2+4,则P,Q的大小关系是（）A.Q>PB.P=QC.P>QD.由的取值确定4. （2023天府新区期末）已知实数,b,C满足cvb<,ac<0,那么下列选项中一定成立的是（）D.c（b-）<0A.acac）>0B.cb1<ca2C.ab>acD.>b+D.a-c>2-bc5.（2023辽宁二模）已知非零实数4,人满足。>|加+1,则下列不等关系一定成立的是（）A.a2>b2+B.2“>2”川C.a2>4b6. （2023江苏模拟）若a>b>O>c,贝J（）.CCnb-CbCiCA.>-B.>-C.d>baba-ca（2023贵阳期末）下列说法正确的（）C.若a>b>c>O,贝IJ£>£abD.若a>b>c>O,则小bb+c8.已知,b,c,分别是一个三角形的三边长,-p.-r3abcC求证一+<2.2b+ca+cb+a2.2基本不等式与柯西不等式知识点一基本不等式1 .基本不等式：如果>0,bX),%W等，当且仅当=b时，等号成立.其中守叫做正数小力的算术平均数，%叫做正数小的几何平均数.2 .变形：abW弓与,a,b£R,当且仅当=6时，等号成立.a+b22Ma,8都是正数，当且仅当=方时，等号成立.3 .用基本不等式号，而求最值应注意：(1)x,y是正数.如果孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值2”；如果x+y等于定值S,那么当X=)，时，积孙有最大值;52.(3)讨论等号成立的条件是否满足.4 .利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.思考：x+；的最小值是2吗？只有当x>0时，才有尸1322、=2,即x+5的最小值是2；当XVo时，x+%殳有最小值，此时x+：=-KT)+()-2卜X)(T=一2即当KO时，x+1的最大值是一2.5 .基本不等式常用模型模型一：mx+-2-ynm(m>0,>0,x>0),当且仅当=时等号成立.模型二：加项变换nx+-n-=m(x-a)+n+ma14tnn+ma(/m>0,?>0,x>0),当且仅当x-=J时x-ax-aVm等号成立.思考：若函数/(x)=x+-1(x>2)在x=处有最小值，则=.x-2模型三：同除转化为基本不等式=-F=(>O,c>O,>O),当且仅当X=J士时等号成立.ax+bx+cr+b+22yac+bVax思考：若对任意x>0,恒成立,则的取值范围是x2+3x+1模型四：凑和为常数型z、mx(n-mx)1,nx+n-mx.2/n出口巾上na.xn-mx)=-<()=(w>Oz>O,O<x<-),当且仅当X=时mm24mm2fn等号成立.思考：己知044则产式12x)的最大值为.由于12x>0,则y=x(-2x)=2r(1-2r)w(2x+1-2x)2当且仅当2r=12x,即1/25X=%寸，等号成立.模型五：等式转化为不等式模型若出现K4+b)+z力=C,其中a、b、八c£R*因为+82>ab=>ab十",可以转化为2myab+nabc或4(a+b)2n(a+b)+nc,4从而求出+b及aZ?的取值范围.若出现求w+力取值范围，先将式子?(4+h)+ab=c因式分解成为(。+外(。+丁)=2形式，再用基本不等式求出也+最值.也可以考虑用柯西不等式解出答案，先进行因式分解(+x)S+y)=z,再用柯西不等式分析.思考：设>0,b>0,+b+"=24,贝IJ()A.a+0有最大值8B.+力有最小值8C.访有最大值8D.妨有最小值8【解析】A.+6有最大值8B.+b有最小值8C.b有最大值8D.b有：法一：+b+b=24n20+024=>(Vab)2+2>ab24<0n0vJab4+6+b=24=+b+:24=(+b)2+4(+b)9604=Q+b8或Q+b-12,又Q+b>0,故选8.法二:+b+b=24=>(+1)(b+1)=25=(q+1)(b+1)(V0b+1)2y/ab4(+1)(b+1)=25=(+1)+(b+1)2y(a+1)(b+1)=>a+b+210=Q+b8例题精选【例9】(2023上海)若实数、满足a>6>°,下列不等式中恒成立的是()A.a+b>2>abB.a+h<2yfahC.+2Z?>2JbD.+2Z?<2>ab22【例10(2023上上海)已知函数人为)=3x+詈7(>0)的最小值为5,则Q=【例11】(2023天津)己知>0,b>OJJ-+匕的最小值为a【例12已知Q>0,b>0,且Qb=1,则；+2+-J的最小值为vVriC上八【例13】（2023河西区期末）已知5%2y2+y4=i®yeR）,则2+y2的最小值是【例14(2023新高考11)(多选)若y满足2+y2-y=1,则()A.x÷y1B.x+y-2C.x2+y22D.x2+y21【例15(2023-湖南期末)(多选)已知Q,b为正实数,且HS=32+b-4,则2+b的取值可以为()A.1B.4C.9D.32【例16设>0,y>0,x+2y=4,则空胆坦的最小值为【例17（2023辽宁期末）若实数,b满足4q2一块=4,则5?+2q匕的最小值为【例18】（2023乙卷）下列函数中最小值为4的是O-4A.y=xz+2%+4B.y=sinx+jC.y=2x+22xD.y=Inx+S【例19】（2023浙江月考）（多选）设a>0fb>0,则下列说法正确的是OA.b+1+A.疯+应B.世而a+ha+bC.AyJctbD.（+b）（）.4Jabab试题精选9 .列不等式恒成立的是()D.c+b”-2(IbA.a2+Zj2,2abB.c+b2.-2abC.a+b.2yab10 .若一4<x<1,则y=主等有()ZX-ZA.最大值一1B.最小值一1C.最大值1D.最小值1I1下列关于实数0,b的不等式中,不恒成立的是0A.2+b22abB.2+b2-2abPi12 .若实数Q,b满足工+J=质则Qb的最小值为()abA.2B.2C.22D.413 .设/(x)="r,0<a<bP=»q=八；.),r=(/(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.=0<I3B.=0<0C.0=0>0D.=>014 .(2018天津)已知Q,bR,且Q3b+6=0,则2。+会的最小值为15 .(2023巴彦淖尔期末)若Q>0fb>OtRab=3a+3b+27,则Qb的最小值为()A.9B.16C.49D.8116 .若,bERfab>0,则叱誓的最小值为ab17 .（2019天津）设X>0fy>0tx+2y=5,则空警3的最小值为vy18 .(2023-河南开学)已知X>0,y>0,若4%+y=1JJ(4x+1)(y+1)的最大值为()913A.-B.-C.-D.144419 .(2023湖北模拟)已知实数,b满足Q+b=ab(a>1fb>1),则(。-I)2+3-1尸的最小值为()A.2B.1C.4D.520 .(2023-荔城区模拟)(多选)己知y(0,+8),设M=2x+
