《导数在函数中的应用》教学设计.docx

第十讲导数的应用教学目标掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法教学重点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.教学难点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.掌握典型例题的典型方法.教学方法建议在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.更习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类(3)道(3)道(10)道B类(5)道(3)道(10)道C类(3)道(3)道(10)道知识梳理1 .函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果/'(%)>O,那么函数y=(x)在这个区间内单调递增；如果r0)v,那么函数y=(x)在这个区间内单调递减.如果,(尤)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.注：函数y=(x)在(a,b)内单调递增，则/'(x)O,/'(x)>O是y=(外在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2 .函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数y=f(x)在点“。处连续时，判断了(”。)是极大(小)值的方法是：(1)如果在小附近的左侧尸&)>°,右侧/(x)<°,那么AXo)是极大值.(2)如果在附近的左侧尸(X)V°,右侧广()>°,那么FaO)是极小值.注：导数为O的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)>O,那么函数y=(%)在这个区间内单调递增；如果(x)<0,那么函数y=(%)在这个区间内单调递减.如果/'(x)=0,那么函数y=(%)在这个区间上是常数函数.注：函数y=(x)在(a,b)内单调递增，则f'(x)O,f'(x)>0是y=f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.【例1】(B类)(2011朝阳期末)已知函数/(外=/+/2+5+的图象过点pg2),且在点用(一1,7(一1)处的切线方程为6x-y+7=0.(I)求函数y=/(x)的解析式；(II)求函数y=/(x)的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数F(X)在区间。向上递增可得:,(x)0;函数/(为在区间4向上递减可得：,(x)0.【解析】(I)由F(X)的图象经过P(0,2),知d=2,所以fW=x3+bx2+ex+2.所以f)=2>x-2bx+c.由在M(1,7(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-7(-1)+7=0,即/(一1)=1,7'(1)=6.32?÷c=6,一1+b-c+2=1即.2b-c=3,b-c=O.解得b=c=-3.故所求的解析式是/()=x3-3x2-3x+2.(II)因为/'(%)=3冗26X一3,令3f-6x-3=0,即d-2x-1=0,解得JCI=I-J5,x2=i+J5.当x或+时，,oj当i-x+时，,故/(幻=/_3/一3丹2在(J-夜内是增函数，在1一应，1+a内是减函数,在1+,+oo)内是增函数【例2】(A类)若/(幻="3+不在区间11J1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数/(x)在区间4切上递增可得：,(x)>0:函数/(幻在区间切上递减可得：尸(X)0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】f,(x)=3+1又f()在区间-1,1上单调递增f'(x)=32+1no在一1上恒成立即-y!y在-1,1时恒成立.a-故以的取值范围为-g,+8【例3】(B类)已知函数/(X)=InX,g(x)=N(>O),设尸(X)=F(X)+g(x).X(I)求函数F(X)的单调区间;(II)若以函数y=F(x)(x(0,3)图像上任意一点P(XO,%)为切点的切线的斜率左!恒成立，求实数。的最小值；2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】(I)F(X)=/(x)+(x)=Inx+-(x>0),F'(x)=-=-(x>0)XXXX,9a>0,由F(X)>0=x(,+8),；77(x)在m+oo)上单调递增.由尸(x)<0=%(0m),F(X)在(OM)上单调递减./(M的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(。,+8).(II)F(X)=(O<x3),k=尸'(%)=%一(0<X3)恒成立O，片+0当飞=1时，/片+玉)取得最大值5.4二，in=22【课堂练习】1. (B类)(山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题(数学文)已知函数f(x)=ax3+b/的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(I)求实数的值；(II)若函数f(x)在区间利加+1上单调递增，求加的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间m,w+1上单调递增，即m,m+1为函数的递增区间的子集.【解析】(I)/(幻=奴3+反2的图象经过点加(1,4).4+b=4*.*fx)=30c2+2bx,.,.f,()=3。+2b由已知条件知T(I)(1)=-1即3+4=99+b=4,a=1解得：3a+2b=9辰3(II)由(I)知/(x)=xj+3x2,f,(x)=3x2+6x令/"()=3+6x0则x-2或x0Y函数f(x)在区间北加+1上单调递增Aw,w+1(-,-20,+oo)；m0或6+1-2即m0或n-32. (B类)设函数g(x)=g/+gar2-b(,bR),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为/(x).(1)若方程Fcr)=O有两个实根分别为-2和4,求F(X)的表达式；(2)若g(x)在区间上是单调递减函数，求/+b2的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间-1,3上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】(1)根据导数的几何意义知/(x)=g'(x)=+r-h由已知2、4是方程Vi+双一力=0的两个实根2+4=cici=-22由韦达定理，/J,/()=x2-2x-8-2×4=-Z?W=8(2) g(x)在区间-1,3上是单调递减函数，所以在-1,3区间上恒有f(x)=g'(x)X2+ax-b0,BP(x)=X2+ax-b0在-1,3恒成立这只需满足T)°即可,也即卜士"1/(3)0b-3a9而/+可视为平面区以"+”内的点到原点距离的平方，b-3a9其中点(一2,3)距离原点最近，所以当J"二一2时,2+有最小值13b=33.(A类)已知函数f(x)=x2-w1nx+(-1)x,.wzR.当m0时，讨论函数f(x)的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论初七二1、m.ZIXX2+(w-1)-w(x-1)(x+w)【解析】/(x)=X+(n-1)=,XXX(1)当一1<m0时，若XW(O,-6)时,r*)>OJ(x)为增函数；x(w,1)时，f'(x)vOJ(x)为减函数；x(1,+)时，r(x)>O,/(%)为增函数.(2)当mT时，尢(0,1)时,/(幻>0,/(幻为增函数；x(1,-zn)时J'(x)<OJ(X)为减函数；X£(w,+)时,(x)>OJa)为增函数.知识点二：导数与函数的极值最值方法归纳：1 .求函数的极值的步骤：确定函数的定义域，求导数/(X).求方程八%)=°的根.(3)用函数的导数为O的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查尸(X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/(X)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么/(X)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么F(X)在这个根处无极值.2 .求函数在凡勿上最值的步骤：(1)求出火幻在(。,加上的极值.(2)求出端点函数值/(g),S).(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数y=/(的在1=%处取得极值是/'(/)二°的充分不必要条件.【例4】(A类)若函数/(x)=wcosx+/in2x在x=(处取得极值,则帆=.【解题思路】若在后附近的左侧f(x)>0,右侧r(x)<0,且C)=0,那么f(x0)是F(X)的极大值；若在见附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,且/'(/)=0,那么/(工)是f(x)的极小值.【解析】因为f(x)可导,且f(%)=-，SinX+cos2%,所以/()=-sin-+cos=0,442解得m=0.经验证当机=0时，函数/(幻=gsin2x在X=?处取得极大值.【注】若/(X)是可导函数，注意/(%)=0是与为函数F(X)极值点的必要条件要确定极值点还需在A0左右判断单调性.【例5】(B类)(2011北京文18)已知函数/(力/一母二(I)求/U)的单调区间；()求“力在区间°川上的最小值.【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.【解析】(I)r3)=d+M,令/(X)=O=1*1；所以力在(Y，"1)上递减，在(AT，+00)上递增；（II）当I。,即E时，函数/（X）在区间°上递增，所以C=f（°）i;当OVA-IK1即1<z2时，由（I）知，函数“力在区间°水一1上递减，伏一口上递增,所以f（"）min=/（AT）=一当I>1,即Q2时，函数“X）在区间°上递减，所以f（x）min="D=（I-Qe【例6】（B类）设X=Iv=2是/（）=4nx+bx+x函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断X=1X=2是函数/（力的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）/（x）=-+1,X由已知得：J(I)=OAtz+2Z?+1=01,«2a=3/(2)=0a+4Z?+1=0、2b=-6（2）X变化吐/'（x）J（x）的变化情况如表:X(0,1)1(1,2)2r()0+0f(x)极小值极大值45故在X=I处，函数/（“）取极小值£在x：4_2Jn2=2处，函数"可取得极大值§一Wn.【课堂练习】I12f（X）xiHx2÷2zx、（一,+00）4. （A类）（2011江西理19）设32.若人”在3上存在单调递增区间，求4的取值范围.【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.2、f（r