线性代数B习题一及答案.docx

习题一一、填空题12341.已知四阶行列式0_3041,则AAAA,4=I11194822 .已知阶矩阵A、和C满足ABc=E,其中E为阶单位矩阵，则fO0、3 .设A为三阶可逆阵，A=210，则2A*-A-1=、321JT02、4若R(A)=2,3=020，则K(AB)=.、-103,5 .若Q=(IkIy与尸=(1-2Iy正交，则A=.6 .若3x3矩阵A的特征值是-1,1,2,则,2-A=.7 .设二次型/(巧,工2，工3)=占2+21：22+3工32+6天工3-8工2工3，则二次型的矩阵是二、选择题1 .已知AB是阶方阵，则下列结论中正确的是().(A)A60=A0且30(B)M=OoA=O(C)4用=O=M=O或固=O(D)A=E<=>A=1.2.设A是阶可逆方阵，则以下说法中正确的是(A)(2A)1=2A'1；(B) (A-1)-1)=(Ar)-11(C) (2A,)=(24)i(D)(A),=(A,)i).3向量组,4,生线性相关且秩为s,则().(A)r=s(B)rs(C)sr(D)s<r4.设三阶方阵AyB满足A2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵To'A=020，则忸I=().20Iy(A)1/2(B)2(C)1/3(D)45 .A是/1阶方阵,且*=2A,则未必有().(A)A可逆(B)A-E可逆(C)A+E可逆(D)A-3E可逆.6 .若向量组,A线性无关；/,6线性相关，则().(A)必可由,为线性表示(B)夕必不可由Q,7,b线性表示(C)b必可由/线性表示(D)6必不可由,6/线性表示7 .设4是加X“矩阵，B是Xm矩阵，则线性方程组(AB)X=O().(A)当>利时，仅有零解(B)当小时，必有非零解(C)当机>时，仅有零解(D)当机>时，必有非零解.三、解答题3_21.计算行列式。=72 113 5925-2的值0-134 2.设A=111,求AtJO15 .用初等变换法解非齐次线性方程组Xj-2x2+3工3栗4+2&=1,2勺+0+2与-2必-3*=4,（要求写出通解的向量形式）.4x1-3x2+8巧-4必+&=66 .求向量组=(1,-2,-1,0,2)r,a2=(-2,4,2,6,-6)r,ai=(2,-1,0,2,3)r,%=(3,3,3,3,4尸的秩及一个极大无关组.'1O0、7 .设A=O42求正交阵P,使PTAP为对角阵.、024,四、证明题设为AX=Aeo）的一个解，4-为对应齐次线性方程组AX=O的基础解系，证明以一切线性无关.参考答案一、填空题（每小题3分，共21分）'103、10；2.CA；3.J_；4._2_；5.1；6.0_；7.02-4-43二、选择题(每小题3分，共21分)1 .(C).2.(B).3.(D).4.(A).5.(A).6.(C).7.(D).三、解答题(共52分)2135250-11324372400=(-1)3724-833分6分183601836=(-1)I30=(-1)3=-182410°,3212 .解：因为(AIE)=111U010，"一。P01000I11O11J(32110(007分所以A-1，12OA2-12-12)3 .解：矩阵可以变形为(A-2E)X=8'411-1(AB)=O1OO,0031-1J)T31002OOJ.33>r-:T3故矩阵方程的解为X=O28分1 _1I33；T-24.解：增广矩阵3=(A,m=21、4-3与原方程组同解的方程组为则通解"=C5.解:_z54510)75450rI0000952-(ci,c2,cieR).n010分-2-20003、-2300>所以向量组%,%，。3，。4的秩为36.解：4一川=(1-4)(6-4)(2-4),得4=1,2=2,4=62分.00当4=1时，由(A-E)X=0,03、020、23,010、001W0>所对应的特征向量X1=(1,0,0)7在单位化得P1=(1,0,0)74分.当4=2时,由(A-E)X=0,r-100、022、022,'100、011W0所对应的特征向量X2=(0,-1,11在单位化得P2=拳0,-1,1)T6分.'一500、100、当4=6时，由(A-E)X=0,0-22一01-1、02-2,、00Oy100取正交阵P=(P,P2,P3)=0近22T10分.0也也122J所对应的特征向量X2=(MJ)，在单位化得pi=受(OjI)T8分.则PTAP=市0g(1,2,6)12分.四、证明题(6分)证：由24-为对应齐次线性方程组AX=O的基础解系，则刍心4-线性无关2分.反证法：设。4线性相关，则可由。4么,线性表示,即：7=+r4分.因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故7；必是AX=O的解.这与已知条件为AX=人(b0)的一个解相矛盾.由上可知，v2，线性无关.6分.