第2部分 专题5 第4讲 圆锥曲线中的定点定值问题.docx

圆锥曲线中的定点、定值问题考点1定点问题C高考串讲找规律(2023全国卷I)已知A,B分别为椭圆瓦/+y2=13>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，启h=8.P为直线x=6上的动点，肉与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为O.(1)求七的方程；(2)证明：直线C。过定点.解(1)由题设得A(-,0),8(4,0),G(0,1).则AG=(,1),GB=(a,1).由AGGB=8得/1=8,即=3.所以石的方程为5+y2=1.(2)证明：设C(»,y)fDte,y2)fP(6,/).若华0,设直线CO的方程为X=加)，+，由题意可知一3v3.由于直线PA的方程为y=(x+3),所以V=/箱+3).直线PB的方程为j=(-3),所以”=(123).可得3y(X23)=>,2(x+3).由于/+)3=1,故货=_8+3"2,可得27"”=-S+3)3+3),即(27÷m2)yy2+m(n÷3)(y+y2)÷(+3)2=0.将X=Zny+代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.Imn/-9所以y+=汴，V”=亦.代人式得(27+nr)(n29)2m(n+3)mn+(+3)2(w2+9)=0.解得n=-3(舍去)或=|.故直线CO的方程为x=my+,即直线CD过定点修0).若f=0,则直线CQ的方程为y=0,过点停，0).综上，直线CO过定点g,0).摘考解读"命题规律：直线过定点、曲线过定点等问题常考查考生的数形结合思想和逻辑推理能力.通性通法：动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线/过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=丘+f,由题设条件将，用A表示为，=阳攵，得y=Mx+m),故动直线过定点(一阳,0).(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.C考题变迁提素养91f直线过定点的模型已知椭圆C+y2=1,点尸(0)，设直线/不经过尸点且与C相交于4,B两点.(1)若直线布与直线PB的斜率的和为一1,求证：直线/过定点；(2)若点坐，0)总满足NAQo=N3。，证明：直线/过定点；(3)有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P(X°,W)处的切线方程为XOy+yoy=产'，类比也有结论：“椭圆泉冬=1(>b>O)上一点Pa°,W)处的切线方程为等+詈=1”.过直线X=芈上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、Bt求证：直线AB恒过一定点.证明(1)设直线RI与直线PB的斜率分别为太，k2.如果直线/的斜率不存在，此时/垂直于X轴.设/:x=m9A(mf/)，B(m,-y)tk+&2=37a-2mm1,得m=2,此时/过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.从而可设/:y=kx+m(m).2将y=x+m代入+y2=1,得(4F+1)x2+8Zwx+4z24=0.由题设可知/=16(4F一m2+1)>。、亿，t1,1Skm4"尸一4设Aay),B(X2,”)，则R1+x2=一而不,XIX2=方可则k+%2=y1,y21kx+m1kxi+m1十=十X1X2X1X22人|也+（相-I）Q1+工2）XX24加24由题设k+k=-1,故(2女+1)小及+(71)(x+x2)=0.:(20+1>4d+1T解得m=-2%1,此时=32(m+1),，当且仅当m>-时，J>0,直线I的方程为y=k-2k-f即y+1=A(X2).所以/过定点(2,-1).(2)因为NAQO=N3QO,所以以q+&bq=O,.,.y,)2米+mkx+mkAQ+kBQ=迪+一=还+还=°，x】_3x23x-3x3即(H1+(te+w)x=2kxX2+(m4工:)(即+x2)一耳=0,得2(4加一4)8ATM(加一斗0理+4F)=0,化简得加=一小左，直线/的方程为y=A(一小)，所以，直线/恒过定点(5,0).则MA的方程为晋+yy=1.；点M在MA上，坐x+(y=1,同理可得乎x2+)2=1,由(知AB的方程为芈x+(y=1,即X=小(1。)，易知右焦点尸(小，0)满足式，故43恒过椭圆C的右焦点尸(小，0).2.曲线过定点的模型已知抛物线C：y2=4x与过点(2,0)的直线/交于M,N两点，若加=湎，PQ1)轴，垂足为。，求证：以PQ为直径的圆过定点.证明由题意可知，直线/的斜率不为0,设其方程为X=Wy+2(mR),将X=ZWy+2代入y2=4x,消去X可得V一4加)，-8=0,显然/=16m2+32>0,设Ma1,y),Na2,”)，则y+=4机，yi”=8,因为MP=；MN,所以是线段MN的中点，5-冗1+x2w(V1÷y2)÷4,17殳尸(XP,yp)f则XP=-2=-12=2w2+2,y+y2ayp=-2=2加，所以P(2w2+2,2w),又PQ_1)，轴，垂足为Q,所以Q(0,2m),设以PQ为直径的圆经过点AaO,yo),则AP=(2加2+2xo,2加一加),AQ=(xo,2zn-yo),所以APA2=0,即一xo(2z2+2o)÷(2n-yo)2=0,化简可得(4一%)加24yoz+扁+的-2xo=O,(42xo=O,令彳4yo=O,1+y-2xo=O,所以当xo=2,yo=O时，对任意的m£R,式恒成立，所以以PQ为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0).考点2定值问题C高考串讲找规律(2023新高考卷1)己知椭圆C：'+*=13*0)的离心率为乎，且过点A(2).(1)求。的方程；(2)点M,N在C上，且AM_1AN,AD1MNf。为垂足.证明：存在定点0,使得I。Q1为定值.4Icc加I解1(1)由题设得示+7=1,tz2=2,解得"=6,庐=3.所以C的方程为3+5=1.OJ(2)证明：设Ma,y),N(X2,”).若直线MN与%轴不垂直，设直线MN的方程为y=k-tn,代入版+：=1得(1+2F)X2+4hr+2m2-6=0.于是x+x2=一4km+2k2t2m26Gw2=7+2F由AM_1aN知赢病=0,故(X1-2)(X22)+(jI-I)(J21)=0,可得(d+)xxz+(h-k-T)(x+及)+(根-1)2+4=0.2m6Akm将代入上式可得(F+1)jH记一(Am&-2)不贵+(川一y+4=o.整理得(2%+3m+1)(2A+加-I)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,21所以24+机一10,故2&+3m+1=0,k1fm=一不一1.于是MN的方程为y=-%g(AD所以直线MN过点出，一；).若直线MV与X轴垂直，可得MxI,-y)由俞=0得(为-2)(x1-2)+(y-1)(-y-I)=0.990又亮+5=1,可得3后一8汨+4=0.解得XI=2(舍去)，Xi=J此时直线MN过点?(|,一；)令Q为AP的中点，即Q(g,W).若。与P不重合，则由题设知A尸是RtZXAOP的斜边，故I。Q1=THP1=乎.若。与尸重合，则|。|=gAP.综上，存在点。传，使得IOQ为定值.IB等解读,命题规律：以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，由题设条件给出的直线或圆锥曲线运动变化时得到的图形中，探求线段长为定值、直线的斜率或斜率之和(积)等为定值是高考考查圆锥曲线几何性质的一类常见题型，培养逻辑推理数学建模、数学运算的核心素养.通性通法：求解定值问题的两大途径(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.C考题变迁提素养借助根与系数的关系求定值已知椭圆c：+W=m人0)的离心率为坐其右顶点为4,下顶点为8,定点C(0,2),ZA8C的面积为3,过点C作与y轴不重合的直线/交椭圆C于尸，。两点，直线BP,8。分别与X轴交于N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)试探究N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.解(1)由题意可知：点A(,0),3(0,-b)t因为aABC的面积为3,所以;X(2+b)X0=3,c3又因为e='=为所以。=2匕，所以;X(2+b)X2A=3,解得力=1(负值舍去)，所以。=2,所以椭圆C的方程为zJ+y2=1(2)由题意可知，直线PQ的斜率存在，故设直线P。的方程为y=Ax+2,点P(X1,y),2te,y2),VI+1则直线BP的方程为y=2X1,令)，=0,X得点M的横坐标砌=W,Jr1Y2"F1直线BQ的方程为y=X1,令y=0,得点N的横坐标XN=-h，y2+1所以XMXN=工逮2XX2X1H3+1)。2+1)=(hI+3)(H2+3)=Fx1X2+3&(沏+至)+9'把直线y=kx+2代入椭圆w+y2=1,得：(1+4F)X2+16"+12=0,”.16k12所以X+X2=一中后，XIX2=甲F，12121+4-1+4F4所以XMM=辿/_1+4+31+4旬+9+494故M,N的横坐标的乘积是定值