第3部分 深化2 第3讲 分类讨论思想.docx
分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.考点1由概念、公式、法则引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列的前项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.【例1】(1)设等比数列z的前项和为S”若S3+S6=2S9,则数列的公比9是()是.(3)从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为.(I)C(2)乎，1(3)36KI)若9=1,则有S3=3m,S=6atSg=9af但m0,即得S3+S6N2S9,与题设矛盾，故47I.又S3+S6=2S9,根据数列性质S3,56-53,S9-S6成等比数列，由可得S3=2S6,-2S6_S31_加q_Si_2,2.(2MD=e0=1,即AI)=1由11)+犬)=2,得大0=1.当时，1)=呼一|=1,所以=1.当一1VaVo时，tz)=sin(a2)=1,所以Tta22k+(kZ).所以q2=2Z+Z),女只能取0,此时*=3，5因为一k<0,所以。=2，则实数。的取值集合为一坐，1.(3)分三种情形讨论：甲、乙都参赛，不同的参赛方案有12种；乙参赛甲不参赛，不同的参赛方案有6种；甲参赛乙不参赛，不同的参赛方案有18种.所以满足条件的不同的参赛方案种数为12+6+18=36.【点评】解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.，考点2由运算、性质引起的分类讨论涉及含参数函数的单调性以及含参数的数学公式往往要进行分类讨论，如指数、对数函数需讨论底数大于1还是大于O小于1.【例2】已知小方>0且4W1,bf若Iog疝>1,则()A.(一1)(。一I)VoB.(a-Xa-b)>OC.S-I)S。)VOD.S-I)S“)>0D，8>0且W1,b,当a>,即4一1>0时，不等式IOg疝>1可化为HOgab即>4>1,(a-)(a-b)<Of(-1)(Z?-1)>0,S-I)S-)>0.当OVaV1时，即4一1VO时，不等式IOg疝>1可化为HOgabV",即OVbVaV1,(a-)(a-b)<0f(-1)(Z?-1)>0,S-I)S-)>0.综上可知，选D.【点评】应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的.考点3由图形的不确定性引起的分类讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.例3(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为.(2)抛物线y2=4px(p>0)的焦点为RP为其上的一点，O为坐标原点，若0P/为等腰三角形，则这样的点尸的个数为.(1)45或半(2)4(1)当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，体积V=2×3××4=43;当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，体积人打平义卜6=竽.(2)当IPo1=IPFI时，点尸在线段。尸的中垂线上，此时，点尸的位置有两个；当|。P1=IOF1时，点P的位置也有两个；对尸O1=尸P1的情形，点P不存在.事实上，F(P,0),若设尸(x,y)f则尸。=p,IPPI=NapF+y2,若41一“>+炉=,则有X22px+y2=0,又y2=4px,.2÷2px=0,解得X=O或x=-2p,当X=O时，不构成三角形.当x=-2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.，符合要求的点P有4个.【点评】圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.考点4由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例4已知函数兀0=x2-(2m+1)x÷1nx(mR).(1)当机=；时，若函数g(x)=y(x)+(-1)InX恰有一个零点，求。的取值范围;(2)当x>1时，/(x)V(Im)x2恒成立，求机的取值范围.I解(1)函数g。)的定义域为(O,+).,1,.a,2x1+a当机=-5时，g(x)=Hnx+x2,所以g'(x)=:+2x=：.当。=O时，g(x)=f,在x(0,+8)上，g()=o无解.>0时无零点，即。WO.当。>0时，(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，取o=e”,则因为g(1)=1,所以g(xo)g(1)VO,此时函数g(x)恰有一个零点，即40.当OVXV时，g，(x)V0,所以g。)在(0,上单调递减;当x>,+8上单调递增.=Mir节时，g(x)>O,所以g(x)在要使函数g(x)有一个零点，则g综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a=-2e或4>0.(2)az(x)=y)-(1-m)x2=m2-(2m+1)x+1nx,根据题意，当X£(1,+8)时,Zra)Vo恒成立.11(-1)(2w-1)又hx)=2m-(2m+1)+=-T人若OVmVT,则局，+8)时,r)>o恒成立，所以贻)在朗，+J上是增函数，且力(X)EIQM)，+8),所以不符合题意.若加则x(1,+8)时，"()>0恒成立，所以力(X)在(1,+8)上是增函数，且力(x)(MD,+8),所以不符合题意.若加0,则x(1,+8)时，恒有厅(X)V0,故人(X)在(1,+8)上是减函数，于是“力(乃VO对任意(1,+8)都成立”的充要条件是力(DW0,即机一(2w÷1)0,解得加21,故IWmWO.综上，机的取值范围是1,0.【点评】若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.
