用平移旋转和轴对称几何问题.docx

用平移、旋转和轴时称研究几何问题学习旋转要解决的问题：分三个层次直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添加方向）一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用1 .已知：ZABC与aADE都是等腰直角三角形.求证：BD±EC.2 .如图，已知AABCgAADE,ZB=45o,ZC=20o,NEAB=30°,则ND二若AC、DE交于点F,则NEFC=3 .如图，ZXABC中，ZBAC=I20°,以BC为边向形外作等边aBCD,把aABD绕着点D按顺时针方向旋转60。后到aECD的位置.若AB=3,AC=2,求NBAD的度数和AD的长.4 .已知：如图，A、B、C在同一直线上，且MBE与ABCD都是等边三角形，求证:AD=CE.拓展如图1,点C为线段AB上一点，ZACM,ZsCBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E,BM.CN交于点F.求证：AN=BM;（2）求证：ACEF为等边三角形；（3）将aACM绕点C按逆时针方向旋转90%其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.5.如图，已知正方形ABCD和BC边上一点E,将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o,再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系.1.（三角形的倍长中线）已知：在AABC中，AB=AC,CD是中线，延长AB至UE,使BE=AB,连结CE.求证：CDCE.拓展1如图1,已知ABC,AD是ABC的中线，AB=8,AC=6,求AD的取值范围.提示：延长AD至A',使A'D=AD,连结BA'.根据“SAS”易证A'BDACD,得AC=A'B.这样将AC转移到A'BA中，根据三角形三边关系定理可解.上/拓展2如图2,已知ABC,AB=AC,D在AB上,且BD=CE,DE与BC交于点F.求证：DF=EF.提示：此题辅助线作法较多，如：f乍DGAE交BC于G；<乍EHBA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF=EF.2.（三角形的翻折角平分线）已知：在AABC中，B=ABiX拓展1如图，已知：在ABC中，AB>AC,AB-AC>PB-PC.AAE是AC延长线上一点，VXZW:2C.AD是三BAC的平分线.求证：AB÷BD=AC.AD是三BAC的平分线，P是AD上任意一点.求证:A拓展2已知：AABC中，NA=90,AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.求证：AE=AP.A34 .（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD中，ADBC,E是DC的中点，AE平分NBAD.求证：AB=AD+BC.拓展1如图，已知：在梯形ABCD中，ABCD,ZADC=90o,F为BC的中点，NAFC=3/BAF.求证：CD=CF.拓展2已知：直角梯形ABCD中，ABDC,AB±AD,F为BC的中点，CF=DC.求证：ZAFC=3ZBAF.拓展2如图，已知：在正方形ABCD中,求证：BE÷DF=EF.E、F分别是BC、CD上的点，若有三EAF=45°.拓展3已知：如图5,在梯形ABCD中，AD/BC,M、N分别是BD、AC的中点。求证：MN/BC5MN=2(BC-AD)。25 .(正方形中的三角形旋转)已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F,试说明BE+DF=AE.拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BE+DF=EF.求：三EAF的度数.拓展3如图，正方形ABCD边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,若AAPQ的周长为2.求NPCQ的大小.B拓展4如图，在正方形ABCD,E、F分别为BC、DC上的点，且NEAF=45°,AH1EF.求证：AH=AB.拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍.试确定NHAF的大小，写出推导的过程.6 .（三角形的辅助线旋转）已知，如图在ABC中，AB=AC,BD=2,CE=3.求证：DE的长.拓展1如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点,PB=PC.拓展2ZXABC中，AB=AC,D是三角形内一点，若NADB>NADC.求证NDBC>DCBAA分析将AABC以A为中心逆时针旋转一角度NBAC,到AACE的位置.连DE,由ADB>NADC,得ZAEOZADC.又ZADE=ZAEd,相减，得NDEC>NEDC.CD>CE.即CD>BD,从而DBC>NDCB.拓展3若P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=I：2：3.试证NAPB=I35°.分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1,PB=2,PC=3.绕B点顺时针旋转90。，使aCBP到AABE的位置，这时BE=2,AE=3,NPBE=90。-PE=2j,NBPE=45"。又APa÷PE2=1+8=9=AE2ZAPE=90o.于是ZAPB=I35°.拓展4在等边三角形内有一点P.连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：出5+1&后）分析将aCPB旋转到aAPB连接PP',延长BP,过A作AD_1BD.易知aAPP'是直角三角形，因为NBPP'=60°,所以NAPD=30",则AD=2,DP=23.7 .(轴对称变换(翻折问题)(1)如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E,AD=8,AB=4求aBED的面积.(2)如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG.若FG的长为13厘米.求线段CE的长.(3)如图，点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN±,得到落点B'和折痕AE,延长EB'交AD于F.判断AAEF是什么三角形，并说明理由.(4)把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF,如图(1)所示.接着，使点C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B',折痕为GC,如图(2)所示.连AB',问图中NGAB'是多少度？求NGAB，相当于求NABE显然三角形CGB和三角形CGB，是全等的，因为是对折得到的，所以CB-=CB=12CF又因为EF垂直于BC,所以NFB'C=30。假设正方形边长为1,算出B1F=(根号3)/2所以BE=I-(根号3)/2所以tanZAB,E=AEB,E=(12)÷(1-(根号3)/2)=2+根号3所以NAB'E=750=ZGAB'8 .(梯形的平移辅助线)(1)已知：如图2,在梯形ABCD中，AB/CD,三A=60。，AD=BC=DC.求证：AB=2CD.已知：如图3,在梯形ABCD中,AB/CD,AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.MN=J(AB-CD).2几何综合1 .如图1,在口ABCD中，AE±BCPE,E恰为BC的中点，tanB=2.求证：AD=AE;如图2,点P在BE上，作EF_1DP于点F,连结AF.求证：DF-EF=VQAF；(3)请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时，作EF_1DP于点F,连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图1图1图2图32 .如图，在平面直角坐标系XOy中，一次函数y=、a+3S的图象与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为(3,0),连结BC.(1)求证：4ABC是等边三角形；(2)点P在线段BC的延长线上，连结AP,作AP的垂直平分线，垂足为点D,并与y轴交于点D,分别连结EA、EP.若CP=6,直接写出NAEP的度数；若点P在线段BC的延长线上运动(P不与点C重合)，NAEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出NADP的度数；(3)在(2)的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度.EC与AP于点F,设AAEF的面积为S1,CFP的面积为S2,y=S1-S2,运动时间为t(b>0)秒时，求y关于t的函数关系式.3 .已知：如图1,点P在线段AB±(AP>PB),C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧.(1)求证：4EHG是等腰直角三角形；若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后,其它已知条件不变，如图2,判断aEHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由.4 .如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.(1)求证：ME=MF;(2)若将原题中的正方形改为矩形，且BC=2AB=4,其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.5 .如图10-1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1)请直接写出图10-1中线段BG.线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度a，得到如图10-2、如图10-3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断.将原题中正方形改为矩形(如图10-410-6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a±b,k>0),试判断(1)中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.(3)在图10-5中，连结DG、BE,且a=4,b=2,k二一，则b2+DG2=1 .如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D，重合，ED，与边CD交于点Fo（1）当点E为BC边中点时，求/ECF的周长？连结AE,AF,求NEAF的度数?（2）当点E在BC边上运动时，（1）中的结论变化吗？试说明理由。2 .已知正方形纸片ABCD的边长为2.操作：如图1,将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G.探究：（1）观察操作结果，找到一个与aEDP相似的三角形