大题保分练4 三角函数立体几何数列概率与统计选考2选1.docx
大题保分练（四）三角函数、立体几何、数列、概率与统计、选考2选11.如图，ZiBCO为等腰三角形，点A,E在aBCQ外，且。E=8,若/BCD=NBAE=号，BC=2y3.(1)若NCoE=争，求BE的长度；(2)在(1)的条件下，求8A+AE的最大值.解1(1)在48CD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-28CCDCoSZBCD=36,：BD=6,"BC=CD,TT2Jt：.NCBD=CDB=%,又Nef)E=y,.*.NBDE=工,在RtZXBDE中，BE=BD2+DE=36+64=10.(2)在氏1石中，ZBAE=y,E=10.由余弦定理得BE?=AB1÷AE2-2ABAEcosZBAEfFIOO=AB2+AE2+ABAF,故(4B+4E)2-OO=AbAEW弓I,3即I(A8+AE)2wiOO,.AB+AEW七后,当且仅当AB=AE时等号成立,.,.BA+AE的最大值为2RG.2.如图所示，在三棱柱ABGAIBG中，侧面A4GCJ底面A8C,AA=AC=AC=2,AB=ACfS.AB1BC,。为AC的中点.(1)求证：平面AI80_1平面BC41；(2)若点E在BG上，且OE平面AiAB,求三棱锥E-AiBC的体积.解(1)证明：因为A5"1BC,ABABy所以BCI.AiB,在AAiAC中，AIA=A1C=AC=2,。为AC的中点，所以A1O14C,又侧面AAICICJ底面ABCf平面A4CIC平面ABC=AC,所以40_1平面ABCf因为BCU平面A8C,所以40_18C,因为A为,AIoU平面481。,ABAO=A,所以3C_1平面4B0,又BCU平面8C4,所以平面48。_1_平面3C4.(2)如图，连接囱。与BC1交于点E,连接OE,ABi,利用三角形中位线定理可得。上AB,因为481<=平面48814,OEa平面ABBiAi,所以OE平面A83A,所以满足条件的E为BG的中点,7=-7=V1X?2乂1V三棱推E-AIBC2三棱推G-AIBC2三棱推B-ACG2346,3故三棱锥E-A1BC的体积为七.o3.(2023.深圳外国语模拟)己知z为等差数列，0,G,6分别是表第一、二、三行中的某一个数，且m,。2,G中的任何两个数都不在表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从m=2,m=1,m=3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列斯存在，并在此存在的数列伍中，试解答下列两个问题：(1)求数列z的通项公式；(2)设数列6满足儿=(一1产品求数列仇的前n项和Tn.解(1)若选择条件0=2,则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列z都不存在.若选择条件m=1,则放在第一行的第二列，结合条件可得山=1,4/2=4,43=7,则Z=3一2,则N*.若选择条件小=3,则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在.综上可得z=3一2,则N*,(2)由(1)知，=(-1)rt+,(3w-2)2,当n为偶数时，Tn=b1+b2+b3T-bn=acA+cA-C&Ai-an-On=(0+a2)(aaz)÷(。3+44)(03-。4)-I1-(an-1-an)(an-+an)=-3(0+a+3H-ari)、,(1+3-2)=-3×0当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=1)2+1(1)+(3I-2)2n2÷?,为偶数，3一2,为奇数.4.某果农种植某品种金桔，并利用互联网进行网络销售，为了更好销售，现从金桔树上随机摘下IOO个果实进行测重,每个金桔质量分布在区间20,70(单位：克)，并且依据质量数据作出其频率分布直方图，如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在30,40),40,50)的金桔中随机抽取5个，再从这5个金桔中随机抽2个，求这2个金桔质量至少有一个不小于40克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率.根据经验，该户的金桔种植地上大约有IooOoO个金桔待出售，某电商提出两种收购方案：A方案：所有金桔均以4元/千克收购；6方案：低于40克的金桔以2元/千克收购，其余的以5元/千克收购，请你通过计算为该户选择收益较好的方案.解由题意得金桔质量在30,40)和40,50)的比例为2：3,，从质量落在30,40),40,50)的金桔中分别取2个和3个，记30,40)金桔中取的2个设为从40,50)金桔中取的3个设为A,BtCf从这5个金桔中随机抽取2个有H,aAfaB,aCfbAfbB,bC,AB,ACtBC,共10个事件，.9这2个金桔质量至少有一个不小于40克的概率为正.(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知：金桔质量在各个区间的频率依次为0.1,0.2,0.3,0.25,0.15.各个区间的金桔个数为：10000,20000,30000,25000,15000,若按4方案销售：(10000×25+20OOO×35+3O000×45+25000×55+15000×65)×4÷1OOO=I8600(元)；若按B方案销售：低于40克的金桔有(0.1+0.2)X100000=30000个，不低于40克的金桔有70000个，总收益有(10000×25+20000×35)÷1000×2+(30000×45+25000×55+15000×65)÷1OOOX5=20400(元)，故选8方案好.5.选考题：请在以下两题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系XQy中，曲线C的参数方程工=2COSCXi-Xf为.(0为参数)，将曲线C经过伸缩变换C后得到曲线Ci.J=S1net,y=2y在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为PCOSj÷psin0-5=0.(1)说明曲线Ci是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程；(2)已知点M是曲线Ci上的任意一点，又直线/上有两点E和F,HIEQ=5,又点E的极角为率点尸的极角为锐角.求：点尸的极角；尸面积的取值范围.：(a为参数)，Iy1=2y,X=2COS,解(1)因为曲线C的参数方程为.,=snax=2cosa,则曲线Ci的参数方程为所以Ci的普通方程为x+=4.j=2sina.所以曲线。为圆心在原点，半径为2的圆.所以G的极坐标方程为p2=4,即=2.(2)点七的极角为全代人直线/的极坐标方程PCOS0+psin，-5=0得点E的极径为p=5,且E=5,所以AEOR为等腰三角形,又直线/的普通方程为x+.v-5=0,JT又点尸的极角为锐角，所以N/Eo=不所以/尸。E=爷,所以点尸的极角为百一寿=?.Zoo法一：直线/的普通方程为x+y5=0.曲线Ci上的点M到直线/的距离2cos+2sin-522sina+-54忑=忑'当sinf+j=1,即=2E+*kZ)时,d取到最小值为凶浮I=平-2.22当sinfa+1=-1,即a=2E一丁(4£Z)时,d取到最大值为I-2噜-51=岁+221所以加尸面积的最大值为X5x（平+2）=岑+5;EM尸面积的最小值为aX5X呼一2）="叵-5.故AEMF面积的取值范围为法二：直线/的普通方程为x+y5=0.因为圆C1的半径为2,且圆心到直线/的距离d=0+0-5522因为,所以圆C1与直线/相离.所以圆Ci上的点M到直线/的距离最大值为d+r=平+2,最小值为J-所以AEMF面积的最大值为:X5X1岁+2)XEMF面积的最小值为gx5X选修4一5：不等式选讲已知函数段)=四一以一2|.(1)求不等式式为23的解集;(2)若qR,且WO,证明：4-1+14(x).x<O0x<1解(1)不等式yu)23等价于或Ix+2x23x+2x223fx1或V-2x+2-3'解得一1Wx<0或OWXV1或IWXW5,所以不等式的解集为因一1WXW5.证明：由(1)知函数Kr)的最大值是<1)=1,即U)W1恒成立，因为4-1+5+14tz-1+1=4+=4+在24,当且仅当。=±3时等号成立，4-1+5+14(x),即得证.
