考点20 空间向量解答.docx

温馨提示：高考题库为WOrd版，请按住Ctr1,滑动鼠标滚轴，调节适宜的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点20空间向量1(2010广东高考理科T10)假设向量：=(11,x),力=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,贝IJX=.【命题立意】此题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出c-。、2b,再由向量的数量积列出方程，从而求出无【标准解答】c-a=(0,0,1-x),2石=(2,4,2),由(D)(2%)=一2得(0,0,1-x)(2,4,2)=-2,即2(1工)=一2,解得x=2.【答案】2CBAf1D2. (2010浙江高考理科T20)如图，在矩形ABC。中，点E尸分别在线段248,AO上，AE=EB=AF=-FD=4.沿直线EF将NAEF翻折成VAM，3使平面AZF_1平面BE/.(I)求二面角A'EDC的余弦值；(II)点N分别在线段?£>,3C上，假设沿直线MN将四边形MVeD向上翻折，使。与4重合，求线段EM的长。【命题立意】此题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等根基知识，考察空间向量的应用，同时考察空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建设空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。【标准解答】方法一：(I)取线段EF的中点H,连结AH,因为AE=AF及H是EF的中点,所以AH±EF,又因为平面A'EF_1平面BEF.如图建设空间直角坐标系A-Xyz,则A'(2,2,22),C10,8,0),F(4,0,0),D10,0,0).故FA'=(-2,2,22),FD=(6,0,0).设：=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量，所以!-2、+2y+2任=0。6x=O取Z=>/2,则n=(O,-2,J)。nm3又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故CoS名喻=r所以二面角的余弦值为也3(II)设FM=X,BN=a,则M(4+x,0,0),N(4,8,O),因为翻折后，。与4重合，所以CM=A'M,CN=A'N,.f(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(22)2,2113(10-a)2=(2-a)2+62+(22)21所以尸M二-4方法二：(I)取线段EF的中点”，A尸的中点G,连结A'G,A'",G".(¾2OJ)因为AZ=A/及是EF的中点，所以A'""1°又因为平面A'EF工平面屏F,所以A'"_1平面BEF,又A尸U平面巫尸，故A,7±AFo又因为G、是A/、E尸的中点，易知G所以G”_14产，于是AFI.面A'GH,所以NA'G”为二面角4OHC的平面角，在MA'G"中，4"=2,GH2A'G=26,所以COSNA'GH=/7故二面角A'OPC的余弦值为一。3(II)设fM=x,因为翻折后，C与4重合,所以CW=A'M,IiiiCM2=DC2+DM2=82+(6-x)2,AtM2=A,2+M/2=A1H2+MG2+G72=(22)2+(+2)2+222121得工=一，经检验，此时点N在线段BC上，所以AM=。44【方法技巧】1、利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思路相对简单，但计算量大；2、翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，看好点、线、面等元素间位置关系的变化。3. (2010陕西高考理科-T18)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面力及力是矩形必，平面ABCD,AP=AB=2ti9622,E,Z7分别是%的中点.(I)证明：PC1平面BER(II)求平面比尸与平面刃夹角的大小。【命题立意】此题考察了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考察了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建设空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.【标准解答】解法一(I)如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为X,y,Z轴建设空间直角坐标系片48=2,6R2,四边形力附9是矩形.A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2)又E,F分别是AD.,PC的中点，E(0,2,0),F(1,2,1).PC=(2,22,-2)BF=(-1,2,1)EF=(1,0,4),PC-BF=-2+4-2=0,PCEF=2+0-2=0,PC1BF,PC1EF,PC±BF,PC±EF,BFEP=上，CPC1平面BEF(II)由(I)知平面BEF的法向量勺=PC=(2,2j5,-2),平面BAP的法向量%=AD=(0,2j,0),.y%=8,设平面BEF与平面BAP的夹角为夕,贝IJCOSe=COS(HpW2印闻二8N124x2及2,形，所以.直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAF的夹角;.6=45°,平面BEF与平面BAP的夹角为45°在aPBC中，PB=BC,ZPBC=90o,/.ZPCB=45°,所以平面BEF与平面BAF的夹角为45°。4. (2010辽宁高考理科-T19)三棱锥P-ABC中，PAJ_ABC,AB_1AC,PA=AC=1AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S2分别-为PB,BC的中点.(I)证明：CM1SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】此题考察了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考察了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标,(I)计算CM、SN的数量积，写出答案:(II)求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【标准解答】设PA=1,以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建设空间直角坐标系，如图。则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,-),N(-,0,0),S(1,-,0)222(I)【方法技巧】(1)空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。(2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。(3)线面角的范围是0。90°,因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。5.(2010安徽高考理科T18)如图，在多面体ABCDE/中，四边形A88是正方形，EF/AB,EFtFB,AB=IEF,NBFC=90。，BF=FC,"为BC的中点。H求证：EH平面E£出；(2)求证：ACj_平面EOB；(3)求二面角5DEC的大小。【命题立意】此题主要考察了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考察了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【标准解答】综合法证明如下：设AC与5。交于点G则G为Ae<J中点，连EG,GH,EF由于”为BC的中点，GH/-A3,二二c又所1AB,.四边形""G为平行四边形=2u:.EGHFH,而EGU平面EO8.7平面EZM(3).EF1FB,NBFC=90,.BF1平面COE/,/.BF1DE.在平面CDE尸内过点F作FK1DE交DE的延长线于K,.DEJ1平面FKB则NFKB为二面角B-DE-C的一个平面角。设E/=1,则AB=2,FC=RDE=抠PC又EFUDC,.NKEF="DC,:.sinNKEF=sinZEDC=.FK=EFsinZKEF=,tanNFKB=3,3FK:.NFKB=60,即二面角B-DEY为60。向量法证明如下：四边形ABCD为正方形,.AB1BC,又.EF1FB,EF/AB,:.AB1FB,BCFB=B,:.AB1平面人8C,.AB±FH,乂BF=FC,H为Bc点，.FH1BC,/一.二(I1ABnBC=B9炫茶C.FH1平面ABC.''1vVJ4v【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行;2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个适宜的三角形中进展求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建设空间直角坐标系，转化为向量问题进展求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。6. (2010山东高考理科T19)如图，在五棱锥尸-力比如中，为_1平面加6%,AB"CD,AC/ED,AEHB3NABC=45。,AB=242BC=2AE=4,三角形处8是等腰三角形.(1)求证：平面阳9_1平面必(2)求直线期与平面阳9所成角的大小；(3)求四棱锥人力夕出的体积.【命题立意】此题考察了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考察了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】(1)根据所给数据，通过计算证明AB_1AC；(2)方法一：先证明48平行于平面PCD,于是点B到平面PCD的距离的距离等于点A到平面PCD的距离，据此可求线面角；方法二：利用空间向量求线面角；(3)先判断出四边形ACDE的形状，并求出其面积，再根据必，平面48G定得高即为PA,从而可求体积.【标准解答】(1)因为Ng45°,小2,BC4,所以在AABC中，由余弦定理得：AC2=(2>2)2+42-2×22×4cos45=8,解得AC=20,所以A2+AC2=8+8=16=BC'即AB_1AC,又上11平面加6宏，所以R11AB,又PAcAC=A,所以AB_1平面PAC,又AB"CD,所以CO_1平面PAC,又因为CoU平面PCD,所以平面阳9_1平面为G(2)方法一：由(1)知平面打力平面阳U所以在平面P4C内，过点A作AHj_PC于H,则AHj_平而PCD,又ABHcD,W平面PCD内，所以四平行于平面PCD,所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离.因为4PAB是等腰三角形，所以PA=AB=2,因此PB=4,在RtPAC中，PA=22,AC=22,所以PC=4,故PC边上的高AH=2,此即为点A到平面PCD的距离，h21/CTT设直线处与平面用9所成角为。，所以Sine=£=上，又e0,-,所以0=巴,即直线阳与平PB42126面如9所成角的大小为工；6方法二：由(1)知AB,AC,AP两两相互垂直，分别以AB,AC,AP为X轴，y轴，Z轴建设如以以下图的空间直角坐标系，由于APAB是等腰三角形，所以PA=AB=2,又AC=2,因此A(0,0,0),B(2应，0,0),C(0,22,0),P(0,0,22),因为CZ)J_AC,又力C被所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE=2,AEBC,所以NBAE=135°,因此NCAE=45°.故Co=AEsin45。=2x立=&,所以2D(-2,22,0).因此Cp=(O,-2忘