第07讲 极值点偏移：商型（解析版）.docx
第07讲极值点偏移:商型叁考答案与试题解析一.解答题(共7小题)1.已知函数/(x)=x-e"(a>O)有两个相异零点内、x2,且M<x,求证：.X,a【解答】证明：r(x)=iDa由/'(x)>。，得X<a1na,由f,(x)<0,得x>a1na，/.fx)在(-ya1na)上单调递增，在(Hw,*c)上单调递减，./*)在X=H处取得极大值，且为最大值等于f(a1na)=a1na-a.由函数/(x)=x-e"(a>0)有两个相异零点不、X2,可得H一a>O,即>e./()=a-e>O，:.xx<a<a1na<X2>.e.".X,-x1>a1na-a=-a1n,ae即-x2<a1n-,a1 P则一(X_/)<勿一，aa1 丝x1=ea,x2=ea,xea1X1-X2)1n-e:.=y-ea<ea=.x,二aea2.(2023新疆模拟)己知函数/&)=m”or+g2.(1)当=g时，求/(x)的单调区间；(2)已知.±JJ,为，x>(X>与)为函数/(%)的两个极值点，求y=至-/匕的最大值.3x1+2x2【解答】解：(1)当a=时，f(x)=1nx-x+-x2»x>0»222“/、/5。一)。-2)令/'(X)>O,可得0<xv；或x>2,令/'(x)v,可得g<x<2,所以/(x)在(0-)，(2,用)上单调递增，在('，2)上单调递诚.22、1,f一十(2)f(X)=a+x=,XX因为,W(N>w)为函数f()的两个极值点，所以王，马是方程/一以+=o的两个根，匚匚Ira+d"4所以X:-5a-yJa2-4.得x1_a+a2-4_a2-2+aa2-42x2a-ya2-42因为.g5,所以y="为增函数，=。为增函数且大()，y=Ja=4为熔闸数目.大0,所以y=-2+J42-4为增函数,所以&=己"+j片4111=3>2X222令r=±(f.3),则)，=2(芭W)_>土=也二D_Ifu,X2x+x2/，+1令gQ)=-Int=2-Int，/+1/+1g,(t)=7-z1<O,所以g(f)在3,+00)上单调递减，(z+1)2tt(t+1)-所以g(r)的最大值为g(3)=11r.3. (2023春湖北期末)已知函数“¥)=叱、+几r-13R).(1)当%e时，讨论函数/(%)的单调性：(2)若函数/(x)恰有两个极值点芭，x2(x1<x2),且为+Qe+1)加2e,求二的最大值.2e-1x1【解答】解：(1)函数的定义域为(0,的)，fr(x)=-ae-x+-=-,Xxe当,O时，/U)>O恒成仁/()在(O,-hx>)上单调递增,当0<6,e时，令/'(x)=0,则e'-at=。，设g(x)=e*-Or,则g'(x)=e*-,易知，当0vxvm时，g'(x)v,g(x)单调递减，当加4时，g'(x)>O,g(x)单调递增,.g(x)f1(")=e,na-a1na-a(-Ina)O,A,(x).0,/(X)在(0,+)上单调递增,综上，当q,e时，/(x)在(0,+00)上单调递增.依题意'小)=小)皿则仁一二。两式相除得，*F=X,设三=f,则£>1,x2=tx1，di)=tInttint(t+)1nt.,.X+x,=t-设W)="型4>1),/-1t2nt则功)=J7"I)?设(t)=t-21nt,则t)=1+-y-=V，)>，所以(t)在(1,go)单调递增，则(t)>(1)=O».h,(t)>O,则h(t)在(1,-o)单调递增，,C1c,r口，C、(2¢+1)In1e>1x+x2,y2e21n2e»I1h(2e)=IeIe.ht,h(2e),.J(1,20,即石的最大值为2e.4. (2023宁德三模)已知函数f(x)=1+加1(R).(I)当,e时，讨论函数/(x)的单调性：(2)若函数/(x)恰有两个极值点E,x2(a1<x2)>且芭+,2"3,求上的最大值.1【F答】解：(1)函数的定义域为(0,+oo),f()=-ae-+-=-Xxe当4,0时,Fa)>o恒成立，力在(0,hx>)上单调递埔当0<4,e时，令f'(x)=0,则e'-0r=0,设g(x)=e"-r,则g<x)=e'-,g(x)单调递增,易知，当OVXV时，g'(x)<O,g(x)单调递减，当4>加时，g<x)>O,.g(x)匾曲Ia)=e,',a-a1na-a(-Ina)O,(x).0,/(»在(O,+)上单调递增;综上，当/e时，F(X)在。+oo)上单调递增；(e"nr=O依题意，/,(1)=(J=0,则X,1八e:-0x2=O两式相除得，=旦,设五=f，则E>1,芭丹Inttint-X=,x?=»r-1t-(t+1)1ntX÷X)=，r-1f21m设力")="+i""">i),则/=I2，r-ia-i)I1O(,一)2>0,设(t)=1-一-21nt(t>I),则,(t)=1+万一一=-P-.Mf)在(1,4)单调递增,则以f)>Q(1)=0,.>0,则Q)在(1,”)单调递增,又百十x2,2加3,即力(，),，2加3,h(3)=2n3，.re(1,3,即三的最大值为3.5. (2023新乡三模)已知函数/(x)="x.(1)求函数g(x)=2()的单调区间;(2)证明：Vx1,x21,+oo),/(x1x2),(x1+x2)(1).X1X2【解答】解：(1)Kf(X)=InX,g(x)=X2f(x)=x21nx,a(0,+oo),(x)=x(2zr÷1),令g<x)v,解得Ovx<令g<x)>O,解得x>.函数8。)的单调递减区间(0,4),单调递增区间为(4，+oo).-Je-Je(2)证明：x1,x21»+),要证明/(芭W)”(x1+毛)。)%x2即证明：/叫+InX2，,x1+x2.X%即证明：bx1-xi+-+Inx2-x2+0XIX2令力(X)=nr-x+-,x1»+oo),h(I)=0.X/,/、1.1-(X2-X+1)fx)=1一一-=<0,XJrx'.函数(X)在XU,+00)上单调递减，/.(x),h(1)=O>.A(1)+(x2),O,即：Vx1,x21,+)>/(x1x,)(x1+X.,)(1)成立.X/26.(2023春海曙区校级期中)已知函数/(x)=1-x+H心.X(1)讨论f(x)的单调性；(2)已知若f(x)存在两个极值点%,为，且不<与，求回的取值范围.2x1X2【解答】解：(I)f(X)的定义域是(0,+oo),、1,a-X2+ax-f(X)=-2-1+-=2，XXX令(x)=-X2+ax-,=2-4,若2殁32,则(),MXKo恒成立，即/'*),0，则/(x)在(0,-o)上单调递减，若>2,令人(X)=0,解得：×-4>0,x1=a+a>0,2'2nJ”？4故(0,)时，h(x)<0,即f,(x)<0,XedW三，三)时,w>0,V)>0,X(4+；-，+00)时»()<0,f,x)<0,故F(X)在(0,竺咚三)递减,在(巴二孚三+"r1)递增,在(纪至三，位)递减,22-2时，令心)=0,解得：X=菩二0,“"当三。,故Xe(O,+oo)时，(x)<0,BPff()<0./(x)在(0,+)递减,综上：%2时，/(力在(O,M)单调递减,【解答】解：(1).f(x)=x-aex,求导可得fx)=1-aet,当aO时，(x)=1->O,即f(x)的单调增区间为(yo,kx),当">O时，令/'")=】一/=0,WJX=-Ina,当x(-Q0,TmZ)时，f,(x)>O»f(x)单调递增，当x(-"4,+)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，./(x)的单调递增区间为(-,Tw)，单调递减区间为(-加入f8),综上所述，当60时，/Cr)的单调增区间为(o,>),a>0,f(x)的单调递增区间为(F,TW),单调递减区间为(Tw,+8).(2)f(x)=x-aex,.fx)=-aex,下面分两种情况讨论：0时，T(x)>O在R上恒成立，.J(X)在R上是增函数，不合题意，。>0时，由T(X)=O,得X=Tna,当X变化时，f,(x)./(力的变化情况如下表：X(-1nd)-Ina(-1na,+oo)f,M+Of递增极大值-Ina1递减.(x)的单调增区间是(F,-/)，减区间是(TW,*0),.函数y=()有两个零点等价于如卜条件同时成立：f(-1na)>O,存在SJ(F,TM,满足/(S1)<0,存在s2(-1na,+oo仔满足f(s2)<0,hf(-1nd)>O,BP-Ina-1>O，解得Ocave”,取4=O,满足S1e(-00,-7。)，且f(si)=-a<O»222-2-取与=一十加一，满足与e(一移,+)，且f(s2)=(ea)+(Ine")<O,.的取值范围是(0,/).(Zi)证明：,f(x)=x-aex,x'U=，设g(x)=、，求导可得g'(x)=3,e:.g(x)在(YO,1)上单调递增，在(1,4<0)单调递减，当XG(-00,0时，g(x).O,当Xe(O,+)时，g(x)>O,由已知X，W满足=g(),a=g(x2),(0,-)»及g(x)的单调性，e.x1e(O,1),x2(1,+oo)>对于任意4，%£(。,一)，设4>02,g(町)=g(“)=4,其中0<仍V1<肛，eg(%)=g(n2)=a2，其中OVz11VIVn2,g(x)在(M)上单调递增，又a1>a2>即g(/i)>g(i),同理可得叫2vn2,n>ny>O»?rnxW1故三随着的减小而增大.即得证.
