第06讲 极值点偏移：乘积型（解析版）.docx
第06讲极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一.解答题(共17小题)1. (2023春汕头校级月考)已知，函数/(x)=nr-r,其中R.(1)讨论函数/*)的单调性；(2)若函数/(x)有两个零点，(i)求。的取值范围；(词设/(幻的两个零点分别为,x2,证明：x1x2>e2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0,内)，当心0时，r(x).O,/(X)在(0,”)单调递增；当>O时，由r*)=0得x=1,a则当0<xv,时，r")v,/(幻在(0,3单调递增；aa当JVX时，,(x)>0,/(x)在(1+8)单调递减.aa(2)法1：函数f(x)有两个零点即方程府-=O在(0,+)有两个不同根,转化为函数y=加X与函数y="的图象在(0,切上有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数y=/，优图象的直线斜率为M只须OVaVZ,设切点A(Xo»/r0)»所以左=y'Is。=»乂左=色殳，所以J_=也，解得=e,陶工于是k=1所以OVa<1，ee法2：由(1)当%0时，/(x)在(0,+oo)单调递增，不可能有两个零点，.>0，此时/(x)g=d)=,aa需加1-i>o解得o<"<J.,从而1>e,->aaa又/(1)=-1-<0if(x)在()有一个零点；/()=1n-=21n-，eaaCrCraaa2设g(x)=2nr,x>e,则g'()=1<0X故g(x)在(e,+)单调递减./(、)=gd)<g(e)=2-e<0./(X)在(1+oo)有个零点故的取值范围为Craa(0,-).e(H)原不等式X1X2>e2<=>1nx+Inx2>2,/U1)=0»/(x2)=0,.*.Inx1-ax=0,Inx2-ax2=0,:.IHX1+Inx2=6r(x,÷x2)»InXIInx2=a(x1-x2)t,-,、chj-Inx,2,X.2(x-X,).Inx1+Inx2>2=(x1+x2)>2<=>!>!-,x1-x2x1+x2x2x1+x2'设函数的)=/答">)Xy÷x2r+1令五=,，则/>1,于是/卢>2(Nr)>32z11求导得：(r)=-一=>0,故函数g(f)是(1,+)上的增函数，2. .g(r)>g(1)=0,即不等式的>如二且成立，故所证不等式中2>/成立.3. (2023攀枝花模拟)己知函数/(©=加x+2-(eR,beR)有最小值”，且M.0.X(I)求，-匕+1的最大值；(II)当e""-8+1取得最大值时，设7(b)=-n(mgR)»尸(x)有两个零点为x1,x2(xi<x2)»证b明：x1X22>e',【解答】解：(I)有题意)=1-4-=(>0),Xxx当儿0时，,(x).O,F(X)在。K)上单增，此时显然不成立，当b>O时，令/'(X)=O,得X=人，此时了(%)在(Og)上单减，在S,x>)上单增，:.M=f(b)=1nb+-a.0,即/成.-1,所以A.e"",e,-,0.所以-6+1的最大值为1.(H)证明：当e"T-6+1取得最大值时，a-1=Inb,F(b)=-rn=-m»bb7(x)的两个零点为，X2»则如1一帆=0;以”一m=0，即加X1=巧，x,=mx2»不等式MX2>©3恒成立等价于InXT+2Inx2=mxy+2tnx2=n(xi+2x2)>3,加上两式相减得/±=n(xi-x2)=>m=也，X2x1-X2加工_3(i-1)带入上式得(X1+2x,)e->3ob<Mr)=_,%fx2内+2超出+2X2令五=f(o<z<i),则g()=w-21iz12,(0v<i),g，=(Da,4)>0,X2t+2/(r+2)2所以函数g(f)在(U)上单调递增，.g()<g(1)=0,得证.4. (2023张家口二模)已知函数/(X)="-0竺-a(e是自然对数的底数)有两个零点.X(I)求实数4的取值范围；2(2)若f(x)的两个零点分别为X1,x2,证明：xix2>-.【解答】解：(1)由题意可得，MX)=xex-a1nx-Or=Xe，一a1n(xex)=0有2个零点，令t(x)=xex,则t,(x)=(x+V)ex>0½x>0时恒成立,故Fa)=XeX在(0,+oo)上单调递增，所以(x)有2个零点可转化为g(f)=/-有2个零点,因为g<f)=1-0,/凡0时，g")>0,g(f)单调递增，不可能有2个零点，当1>0时，由g")>O可得f>1,g(f)单调递增；g")<O可得Ovva,g")单调递减，g(r)哂=g(a)=aa1na，若OVaVe,则g(a)>0,此时gQ)>O恒成立，没有零点,若=c,则g(a)=0,有一个零点，若>e,则g(a)<0>因为g(1)=1>0,g(ea)ea-a2>0,所以g(f)在(1,e),(e,e“)上各有1个零点,符合题意，综上，4的范围(e,+);2(2)证明：要证X1X,>三，只要证X/即证1n(x1ex,)+1n(x2ex)>2,由(1)可知，1=x1ex',t2=x2ex2,所以a(1nt2-Intx)=Z2Z1»a1nt2+/4)=J+%»(2-+1)w-所以Inti+Int2="+(Int2-Inti)=-,t2-t1k-1(+1)n-只要证工>2,1设0<4<q,令，=旦，r>1»一所以只要证册>如二D即证加，+/-2>0,r+1r÷1令h(t)=Int42,Z>1r+1则=1=("D：>0,tQ+1)2r+D2.(r)>(1)=0，即当r>1时，)=/“+一一2>0,r+1所以Intx+Int2>2即(xiex')(x2exi)>e2,÷¾5. (2023武进区校级月考)已知函数/(1)=历x+g-.(1)若函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行，求的值；(2)若存在fwT,1,使不等式/(口,a-3-1)加对于工1,e恒成立，求。的取值范围;(3)若方程Ax)=：/有两个不等的实数根不、X1,试证明王%>/.【解答】(1)解：r*)=!x-a,.函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行，/.f,(1)=2=O,解得=2.(2)解：x1,e,不等式f(x),a-(-1)nr化为：x-6r(1-)t,2X.,存在rwT,1,使不等式/(x,a-(-1)zIX对于x1,e恒成立,1工2.J-X-,-Xa(y),1»化为：a.=g(x)令人(x)='x+I-MX,z,()=-=->0,22X2x：.函数h(x)在1,e上单调递增,.g<x).O,因此函数g(x)在x1,e上单调递增.g(e)的取值范围是,+8).tc(x)1a(3)证明：方程/()=a12,即or=O,jt>O.令h(x)=ax-1nxfh,(x)=a=XX可得：函数MX)在x>1时单调递增，在0<<4时单调递减.aa.x=1时，函数MX)取得极大值即最大值.ah(-)-1+Ina.方程/(X)=g2有两个不等的实数根百、.Znr1+Inx2=(x1+x2)=1n(x1x2)»要证明：x1x2>e2.只要证明：(+w)>2即可.不妨设o<%<J<M,则由于函数(幻在>,时单调递增,aaaa因此只要证明：n(-x1)-a(-M)>O即可得出X,>-xx»aaa22设函数g(x)=/(Jr)-(x)-(1nx-ax),”、1-12(1)2SM=y+2=-v2XX(Or-2)Xa可得在(0,2)上g，(X)Vo,旦gd)=o.aa1 22.O<X<一»g(X)O,即加(X1)。(X1)一(q61V)>O>aaa2 2即1n(x1)-ax1)>O./.x1x2>e2.V5.(2023和平区校级模拟)已知函数/(x)=g+一的导函数为/，“).(I)判断/(X)的单调性；(II)若关于X的方程(x)=m有两个实数根,x2(x1<x2),求证：x1x<2.【解答】解：(I)f,x)=x+1-(1+1nx)=x-1nxx>0),1_1令g(x)=x-加X，由g'(x)=1=(x>0),XX可得g(x)在(OJ)上单调递减，(1,+00)上单调递增，'()=g()g(1)=1>0,.(X)在OM)上单调递增(4分)(II)依题意，卜一竽=",相减得百一%2=於，x2-Inx2=m1令生=W>1),则有内=四_,X,=,x1/-1t-欲证芭2<2成立，只需证/'">"")：<2成立,/-1(Z-I)2即证(R)3<2(J)3成立,r1即证股<当ID成立，户111令户=X(X>1),只需证2"X亍)-3，>0成立,x21令尸(X)=2?(x7)一3mx>1)»x2即证X>1时，Oo成立F,(x)=2(1+-=2'(+"3厂,XXXI令(x)=23(+2)-3/(X>1),11贝IJ,(x)=2i(3x2)-6x=3x(27x-2)(X>1),可得Cr)在(1,2)内递减，阳*+oo)内递增，2.A(x).(21)=0,.Fz(x).O,.F(x)在(1,+oo)上单调递增，F(x)>F(1)=O成立，故原不等式成立.6. (2023春邵东市校级期中)己知函数/(x)=X-sinx+而X,W=f(x)+asnx.(1)求函数y=g(x)的极值;(2)若存在X,x2(0,÷oo)»且当F*/时，/(x1)=/(x2),当OVaV1时，求证：yxx2<【解答】解：(1)由g(x)=x+而X,/.gf(x)=1+=v+(x>0),XX当机.O,/(x)>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数，无极值,当nv,O<x<-tn,g'(x)<O;x>-rn,g'(x)>O,g(x)在(O,Tn)上为减函数，在(w,+)上为增函数，x=-m,g(x)有极小值Tn+而(-。，无极大值，综上知：当机.0,g(x)无极值，当mVO,g(x)有极小值-利+m1n(-m),无极大值.(2)证明：(x)=x-asinx».,(x)=1-cosx»一掇!tosx1,.0<<1»,(x)=1-cosx.0>所以，当OVaV1,?(X)=X-qsinx在(0,+oo)上为增函数，所以当XG(0,+)时，恒有(X)>Zi(O)=0,即x>sinx成立;当机.0,g(x)在(0,”)上为增函
