第05讲 极值点偏移：平方型（解析版）.docx

第05讲极值点偏移:平方型参考答案与试题解析一.解答题（共9小题）1) (2023广州一模)已知函数/(x)=xX-0+x(eR).(1)证明：曲线)，=/*)在点(1,f(1)处的切线/恒过定点；(2)若/(x)有两个零点不，x,且x2>2%,证明：Jx1（2023浙江开学）已知acR,/。）=""小（其中e为自然对数的底数）.（I）求函数y=f（x）的单调区间;+Xj>-e【解答】证明：(1)f,(x)=x1nx-ax2+x=1nx+-2ax+=1nx-2ax+2,广(1)=2-2«,又/(1)=1-,.曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(1-)=(2-2)(x-1),即y=2(1-,当x=；时y=0,故直线/过定点(g,0)：)x1,是/O)的两个零点，且£>2%,Inxx+1_Inx2÷1_In(X1X?)÷2_Iiix2-InX1>=,X1X2X1+x2x2x(x1+x1n令，=三(>2),/Jnr1X2+2=±="+I)"'1x2-x1/-1f21m构造函数g。)="喀，g'")=jz，f1V-1)令人")=r-1-2加/,则«)=四二2-0,则力(。在(2,七»)上单调递增，tC1Q而(2)=2-2zz2=-22>0,(r)>0,则g(Z)在(2,+oo)上单调递增,Q.g(t)>g(2)=3bi2,可得比(XX,)+2>3/2,则/(不左)>加r，e即XsX2>4，则yX+X>2>y2XX2>.()若>0,函数y=(x)-a有两个零点X,x2,求证：+x1>2e.【解答】解：(Z),(x)=e-ttr-axe-t=e-r(1-ax),awR,.v时，ffW=ax(1->O=>x>»ar(x)=e"(Is)VO=XV1a.v时，增区间为：1+oo),减区间为：(-co)；aa4=0时，r(x)=""(I-G)=I>0，.4=0时，增区间为：(YO,÷3)；>Okj,f,(x)=e-ax(-ax)>0=>x<-,af,(x)=eax(-ax)<0=>x>-»a.>0时，增区间为：(-,1,减区间为：(1,+oo);aa综上：<0时，增区间为：1+8),减区间为：(-oo,):aaa=0时，增区间为：(Y)O,H3)；a>0时，增区间为：(-00，减区间为：d,+oo);aa(II)证法一：由(1)知，a>0时，增区间为：(-00，减区间为：(1÷oo);aa且x>T时'/(x)>°,加大值(")=/(!)=5,函数y=(x)的大致图像如下图所示：不妨设X1<x2,则O<玉<1VM，、22先证：xi+x2>»即证：x1>x2»aa因为X<1,所以2一天<,，又y=(x)在(一8一)单调递增，所以即证：/()>/(-2)aaaaa2又f(N)=/(W)，所以即证：f2)>f(-2)»x2>-aa令函数F(X)=/(x)-/(2一),(1,+oo),aa9则Ff(x)=e-t(1-0r)+e-2+ax-a(-x)=(1-ae-ax-e-1+ax,a因为x>1,所以一5Var2,I-OVV0,F,(x)=(1-ax)eax-e2+ax>O,a711函数尸(X)=f(x)-f(-x)在(一,+00)单调递增，所以/(x)>F(-)=O,aaa1 o9因为/>,所以，/()>/(X2)»即h+/>,aaa所以q+*>>>2e.12a2(II)证法二：因为>0时.,函数y=(x)-。有两个零点%,为，则两个零点必为正实数，/(X)一。=O=e1m-ax=e1m,(x>0),问题等价于InX-奴=/m有两个正实数解：令g(x)=1nx-ax-1na(x>0)则g，(X)=J-(x>O),g(x)在(0,)单调递增，在(1+8)单调递减，且0v%<-<x2,Xaaa令G(X)=g(x)-g(2一)'X(1,-HX>),aaI122贝UG,(x)=a+a=2a>-2a=0,X2x(2-0r)1aa所以G(X)在(,+00)单调递增，G(x)>Gd)=O,aaI2j又区>一，故g(x,)>g(-xj，X2(-,+00)»aaa2又g(%)=g(f),所以g(x)>g(-X,)，aI2I乂0<<一<x,所以,x,(0,)，aaa又g(x)在(0-)单调递增，所以m+2>2,所以豆>>2e.勺t2a23. (2023秋泉州月考)已知函数/(X)=蛆±1.C1X(1)讨论的单调性;(2)若(e)*2=(ex2)*(e是自然对数的底数)，且%>0,x,>0,x1x2>证明：x12+X22>2.【解答】解：(1)函数幻=生出(>0),则/(X)=-空，axax令f'(x)=O,解得x=1,若a>0,当OVXV1时，ff(x)>O,则/(x)单调递增；当x>1时,f,(x)<Ot则f(x)单调递减,所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,-hx>)上单调递减；若av,当OVXVI时,(x)<0,则f(x)单调递减；当x>1时，/'(X)>0,则/(幻单调递增，所以/a)在(0,1)上单调递减，在(1,拓)上单调递增.综上所述，当>0时，F(X)在(0,1)上甲遍递增，在(1,Z)上单调递减；当v时，/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增.(2)证明：因为)&=(%)"，两边取对数，可得引(咐)=W(")，即Xy(JnX1+1)=x1(InXy+1),所以%+1='3+1,芭W此时当a=1时，存在且>0,x2>O»XIWX2，满足)=/(9)；由(1)可知，当=1时，/(%)在(OJ)上单调递增,在(1,kq)上单调递减,不妨设X1VW,所以XG(O,1),x2(1,+),若/修，+oo),则；+%；>.4>2成立；若w(1,2),则2-七e(O,1),i己g(x)=(x)/(2X)=妈+'，Ovxv1,XX2-x2-x则g，")=_"一必学""一隼N=_也笆里1>o,X(2x)XXX所以g(x)在(OJ)上单调递增，则g(x)<g(1)=0，即/(x)v(2-X)，所以/(2W)>/(内)=/02)，因为X1e(O,1),所以2->1,又W>1,f(x)在(1+oo)上单调递减,所以2-X1<w，即F+芍>2,又不?+1.2Jx1?.1=2x1>x22+1.2yx=2x2,以上两式左右分别相加，可得X，+1+2+.2(X+x2),即X12+x22.2(x1+x2)-2>2,综合可得，xi2+>2.4. (2023开封三模)己知函数/(X)=丝.nix'(1)讨论F(X)的单调性;(2)若优=2,对于任意X>与>0，证明：5()-名/(工2)«；+¥)>中2-名.【解答】解：(1)/(X)=丝的定义域为(0,内)，r*)=上芈，IWCnc当m>0时，/'(x)>0=0vxv?,此时/(x)在(0,?)上单调递增，f'(x)<0nx>",此时/(幻在(4+)上单调递减，当mv时，/'(x)>0=x>M,此时/(x)在(,+8)上单调递增，f,(x)<0=>0<<,此时f(x)在(0,G)上单调递减；综上可知：当00时，/(不)的增区间是(0,7?),减区间是(G,go)：.当mv时，/(x)的增区间是(G,+),减区间是(O,J?).(2)证明：由n=2,f(x)=,(x2/(x1)-?(2)(2+x)=-(Jnxx-n)(xj2+x7),2x2由于4>x2>0,所以凡占一名>0.设f=%>1,故：(x；/(%)-¥C)(H+x7)>xx,-XjO/叫-Inx>2(*；”1)汇+不2(*1)<=>n->0Int>2"?(r>1)<>Int-?>0(r>1),Wj+(1+广1+广出令导则"/一%1)>0,+tT1+ht/(厂1)(广÷2z1)由于r>1,故"")=3；-t(t2+1)2则(t)=Int-2"一?在(1,+)上.单调递增，1+F故叭f)>(1)=0，即：所证不等式(M/(x1)-/(2)(xi2+考)>X1X2-j成立.5. (2023浙江模拟)函数/(x)=H"+1.(1)若=1,求函数)，=/(2x1)在X=I处的切线;(2)若函数y=(x)有两个零点大,x2,且王工2,(i)求实数的取值范围;(ii)证明：考_/<F+,+1【解答】解：(1)«g(x)=f(2x-1)=1n(2x-1)-(2x-1)2+1,2/.g,(x)=4(2x-1),.g'(1)=-2,且g(1)=0,2x-1.切线方程：y=-2(x-1).(2)")函数fx=Inx-Cix2+f:.f,()=-2ax,X若小0,则(外单调，至多一个零点;,+8)上是减函数,若。0，则八X)=I-jr,./(幻在(0,言)上是增函数,.,.f(.)=1n(2c)÷>0»yJ2a22(/7)证明：函数y=f(x)有两个零点x1»x2，且z/，由极值点可得X+毛只需证*+2v±1,即证2<1,即证2)>d),caaa即证o>/d)，即证成立.aaa6. (2023春渝中区校级期中)已知函数/(x)=e"-(x-1).(1)讨论函数/*)的单调性；(2)设4>1,W=/(%)+(x>0),函数g(x)的唯一极小值点为X°,点A*】，g(x)和B(X2，g2)是X曲线y=g(x)上不同两点，且gC)=g(x2),求证：x1x2<Xq.【解答】(1)f(x)的定义域为A,f,(x)=ex-a,当出0时，,(x)>0,所以f(x)在A上单调递增；当白>0时，由fx)=0»得X=Ina>当x(-oo,")时，fx)<0：当x("4,+oo)时，fx)>0.所以/(x)在(o,w)上单调递减，在(加4+X)上单调递增.综上所述，当O时，f(x)在R上单调递增：当4>0时，f(x)在(o,w)上单调递减，在(/“a,+oo)上单调递增.(2)由题意g'(x0)=O得=*-!，不妨设XVx2,由g(%)=g(乂)，得e*-g+-=ex2-Cix3+a+,Px'-x211PXI-f,x211HP-=+-,且=*=，所以1=/一y,X1-2XX2AT1-X2XxX2%要证X1X2<,即证xix2<X0,显然人Cr)=d-在(0,+00)上是增函数，故只需证人(JXIX2)V(/)，即证6后1-1，xxx