数值分析第七章非线性方程求根习题答案.docx

第七章非线性方程求根(一)问题简介求单变量函数方程/0)=0(7.1)的根是指求"(实数或复数)，使得“)二°.称X*为方程(7.1)的根,也称"为函数F(X)的零点.假设/O)可以分解为f0)=(X-WgO)其中m为正整数,g(x)满足g(x)"°,则"是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m>1时,称"为m重根.假设g&)充分光滑,X*是方程(7.1)的m重根,则有假设F(X)在Eb上连续且3)S)<°,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称a,b为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1二分法设/3在a,b上连续,3)fS)<°,则以4=0在(a,b)内有根X*.再设/(X)=0在(a,b)内仅有个根.令%="也=J十算'一万"+")和八"。).假设/5)=°则=,完毕计算；假设/o)()>°,则令a=XOa=J得新的有根区间以，如；假设/()()<,则令=A=,得新的有根区间同a也u1i,a"5电再令"2(“+')计算Fa),同上法得出新的有根区间，4,如此反复进展,可得一有根区间套=0,1,2,也一可=；(如一%)=5(一%)且22柏W-)=*=星(/+b3=X*改乙1 zJ、xn=-(azt+bt1)、八2 因此，2可作为/(X)=°的近似根,且有误差估计3 .迭代法将方程式(7.1)等价变形为X=取%)(7.3)假设要求X*满足/(炉9=°则尸=奴代)；反之亦然.称X*为函数叭心的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求。(X)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为=9(&)，左二°，1，2(74)函数以X)称为迭代函数.如果对任意先+I=双玉=,由式(7.4)产生的序列W有Iimx=x*极限则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设奴X)GQa，切满足以下两个条件：1对任意x3,旬有奴x)b;2 .存在正常数1<1,使对任意苍y£。，勿,都有I奴X)奴y)11XyI(7.5)则以划在3力上存在惟一的不动点尸.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设以X)gQa力满足定理7.1中的两个条件,则对任意/句,由(7.4)式得到的迭代序列"J收敛.到以工)的不动点,并有误差估计式M-X*区与区一XI1(7.6)MT区1rMfT1和1一乙(7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设N为O(X)的不动点,叭4在1*的某个邻域连续,且Ie'(x)1<1,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程”=奴X)的根x*,如果迭代误差线二N-X*当火00时成产以下渐近关系式殳1C(常数CWO)ek(7.8)则称该迭代过程是P阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果"a)*)在所求根X*的邻近连续,并且°,(x*)=°"(x*)=.="PT)(x*)=O”3)Wo(7.9)则该迭代过程在点X*的邻近是收敛的,并有Iim-*(/)%T8PPIk(7.10)斯蒂芬森(SteffenSen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进展加速.具体公式为然=>®)，ZJt=。(%)(yk-k)2XE=Xk÷-7一za-2+(7.11)(7.Z=O,1,2,.此法也可写成如下不动点迭代式%+1=(占)，4=0,12,孤X)=X必夕(。(功-2e(x)+x定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理)设代为式(7.12)中“)的不动点,则户是GJ)的不动点;设8"*)存在1则卢是以X)的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.3 .牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为Xg=Xk-岑4k=0,1,2,其迭代函数为/(7.13)牛顿迭代法的收敛速度当/(/)=°，/(产)/°，/'(#)"°时，容易证,8,W)=半，0明J(X')°,f(),由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且小)9重根情形的牛顿迭代法当代是八幻二°的m重根(机2)时,迭代函数/*)夕'(X*)=1O.,z,1在户处的导数团，且SO)<1所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.假设炉的重数m知道,则迭代式K=/一切誉A=Ofg)(7.15)求重根二阶收敛.当m未知时,丁一定是函数(X)=/(X)外幻的单重零点,此时迭代式X=V(/)一支"xjf(xj(7.16)Mk8)"U)-),U)女二0,1,2,也是二阶收敛的._f(x)k-02A+I-Ak,K-U,1,4简化牛顿法如下迭代法/称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4 .弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的.(Z)用/在血，/处的一阶差商来代替,即可得弦截法定理7.6假设f(X)在其零点X*的邻域：1X-代1S内具有二阶连续导数,且对任意xe%),X有,又初值”则当邻域充分小时，弦截法(7.17)将按阶p=+'1.61802收敛到X*.这里P是方程a-X-1=°的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过UaJ)G一,)两点的直线方程的根近似替/a)二°的根假设f(x)=。的三个近似根玉,XJX"2用过(Xa"(玉)，(XJtTJ(XJ1T),(/_2,/®_2)的抛物线方程的根近似代替了(幻二°的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(MUner)法.当/*)在X*的邻近有三阶连续导数，/(六)工。，则抛物线法局部收敛,且收敛阶为p=1.8391.84二、知识构造图表7-1k%4Xk/(“的符号0121.5÷111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.31251.3751.3438+51.31251.134381.3282+61.31251.328213204-71.3204132821.3243-81.3243132821.3263+91.32431.32631.3253+表7-2kXk-I02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.000519761742.1200949760.000622589表7-3kXk-0413.5642375870.43576241323.3919951680.17224241933.3541248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此时马已满足误差要求，即炉R3.347529903(3)由于。'U*)0136323129°,故根据定理7.4知方法是线性收敛的，并且有Iim2=°<x*)oo例7-4对于迭代函数以幻=x+C-2),试讨论：(1)当C为何值时，Z+=9(占)("二°J2,.)产生的序列占收敛于0：(2)C为何值时收敛最快C=_11(3)分别取2,2,计算以幻的不动点点，要求解：0(%)=x+C-2),q3=1+2Ct,根据定理7.3,当,(2)=I+2C<1,亦即0<,<°时迭代收敛。C=1(2)由定理7.4知，当夕(应)=1+2。=(),即2时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快。(3)分别取2'2应，并取=12,迭代计算结果如表7_4所示。表74kXk(C=-;)kXk(C=嘘)01.201.211.4811.39798989961.41336958621.414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此时都到达我+玉<°事实上应=1414213562./w°，一例75给定初值。以及迭代公式xA-+1=x1iQ-ax)k=0,1,2,.,常数。W0证明:(1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列"J收敛的充要条件是-ax0<(p()解：显然,迭代函数为以X)=M2-奴)，且a。，即。是9)的不动点.又,、oiC。'(一)=0-)=-2a0e(x)=2(1-0r),0(力=一加,所以。，由定理7.4知,Iim=-"()=-a迭代是二阶收敛的，且42线=Xk=(A1)._nr_1(2)因aa,令r1axk1,则然而故由此可知理"二°等价于即二°,而!即1°又等价于叩“，即H一"<1注(1)的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明.另外，此题迭代式实际上f(x)=Q是对为使用牛顿迭代法而得.例7-6对9(x)=x+d,x=O为9(%)的一个不动点,验证迭代XN=(P(Xk)对任意XOWO不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算夕(幻的不动点X=O时的收敛阶.解由于9'(X)=I+3x当。时0'(x)>1,且有Ixk+-OHO(XjT)I=I)(xk-0)1介于玉与0之间,假设/*1>1,迭代不收敛.假设改用斯蒂芬森迭代(7.12),可得,(0)=3,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.'(0)=-01由于3,故用斯蒂芬森迭代计算不动点X=O时,收敛阶P=1.(请读者注意,这一结论与定理7.5的结论是否矛盾?)例7-7当R取适当值时,曲线y=/与y2+(-8)2=r2相切试用迭法求切点横坐标的近似值,要求不少于四位有效数字,且不必求R.解)'=/的导数歹二2七由+(X-8)2=R2确定的函数y的导数满足2yy'+2(x-8)=0,由两曲线相切的条件,可得即2x31-8=0令/(x)=2x3-x-8rij/(1)<0(2)>°"。)=0在(1，2)内有实根又尸(X)=6x2+1>0,故f(x)=0仅有一个根,构造迭代公式8X-Xk+=(P(Xk)，奴幻=(-y-)3,X(1,2)则当x1,2时,1奴x)2故迭代收敛.取“。=15,计算结果如表7-5所示.表7-5kxkIW1kxkgfI01.50.01875221.4826710.00142311.481248