小学六年级奥数第9课《二进制小数》试题附答案.docx

小学六年级上册数学奥数知识点讲解第9课二进制小数试题附答案第九讲二进制小数我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算.大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？一个二进制分数，就是；，a是二进制整数，br0也是二进制整数.b一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0<n<1,n=0.b1b2b3-bi,每个bi或为0,或为1（bi不全为0,也不全为1）.瓦所在的位称为:分位；b2:5分位；b3:1分位，瓦：£分位.（类似于十进制小数0.a向a?,即为分位，为击分位，）二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是“逢二进一”，“退一还二十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介.例将（0,3）10化为二进制小数.（用（a）k表示62位数）.=(0.0100110011001.)2(o.oiooi)20.010011010)1100z10101000010101100兆成循环)这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数.本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数.回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式.十进制循环小数化分数一般公式：纯循环小数：(0.a1aak)10=a1a2ak虹k个混循环小数：(.x1x2-fa1a2ak)=Xia1t-Xi；999000k个才这些公式的推导过程如下，请体会思想方法.设S=(0.a1ak)10.第一步：在此等式的两边乘10右边相当于小数点右移k位,得Io1CS=对町部泊町”；第二步:两个等式左右两边分别相减，左边为Ioi(S-s,右边为篇F(巧妙在于差值很整齐，梢去了让人“害怕”的无限长(虽然是循环)的小数):S(Iok-1)=a1aak=S=蓝.公式证得.k个至于混循环，只要借用己证得的公式，因为(x1x2xsa1a2ak)(分子小数点右移施)(.x1x2-xf1a2-ak)10IO51Z,a1a2*"akx市(Xf+与丁")k个1z(1OOO-1)×x1xsa1a2akW7(999+99-9)1x1x2xi×1000+a1a2ak-x1x2x51F(99999-900-0k个门其实公式中，当S=O时，就是公式，复杂的公式是借用简单情况下的公式推来.推出后包含在之中.对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导.设S=(O.b1bbk)2.第一步：两边乘2工右边相当于小数点右移啦，得21tS=西F6%堂.第二步：两个等式左右两边分别相减,左边为2*S-S;右边为793,恰为整数，消去了无限长的部分，有：kb1b0bvS(2*-1)=b1b2bk=S=11/(1)111k个至于二进制混循环小数：也记这小数的整体为S.S=(0.x1x2''xsb1b2",bk)2,则有S=A(x1xx5b1b2-bk)2x1x2,xsb1b2,"bk-x1x2,x5nooo',k个bh从推导和记忆规则看，公式Q）和G）与十进制公式和相仿.那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式.例1化（OIoi）2为二进制分数，十进制分数.例2化（0.0714285）理与（0.0101）?为十进制分数.例3化（0.100111011）2为二进制分数.1IY1IY11v1IY1772142282562+ZX+ZX+ZX+Zx-7142856112用公式(3),q=g,an=5.答案例I化(OOoi)2为二进制分数，十进制分数.解：用公式Q)(.Gi)2=(甫2=()10例2化(0.0力4285)10与(Ooioi)2为十进制分数.解：(0.0714285)10=21-1。9999990_714285-0_5119999990=7X10=(1410,101-05例3化(0.100111011)2为二进制分数.解：由公式(2)100111011-1001(0.100111011)2=“111110000100110010=111110000_10011001=11111000直接检验0.100111011mu)10011.001I'iI1111；II111010：T1111111110110III1OiiiOi>“i11I111100!兆成循环)I111I1I11O1O-)I1111I1O11O现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S,好比列方程设未知数，而o×s-s恰好消去了“烫手”的无限长的小数部分，推出“方程“S(10k-1)=a1aak,立刻求解出S.这样的思想，在研究等比数列时也用到了.以前讲过有限项数列：a1,a2,a3,，a】，an.所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q,也即：a1,a2=a1q,a3=a2q,，ai=aiIq,，an=an-Iq,或a1,a2=a1q,a3=a1q2,，ai=a1q1-1,，an=a1qn1.现在要求出a1+a2+a34FaiHFan.思想方法：第一步：设S=a1+a2+an=a1+a1q+a1q;<Fa1qj1-1.上式两边乘上q,作为第二步：qS=a1q÷a1q2÷+a1qn1÷a1qn.当q<1时，用上式两边减下式两边，得到S-qS=a1-a1qft,即有S=(q<D(3)1-q公式(3)称为公比小于1的等比级数前祈求和公式.它叙述为：前丽和等于首项与首项乘公比的II次幕的差除以1与公比之差.类似地可推导出：当q1时，S=aiS71(q>0.(4)例41Iv1IXZ1ID1772142282I1111=+=S7142856112=5.用公式q=J,a】=),n乙f尹一5)2(2$7)3111725112,1'最后以一个很精彩的例来结束本节(本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题.虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此题)习题九1 .请你写出把三进制循环小数化为分数的公式：(Odd4)3=；(0.x1xsdd2'dk)3=,2 .把下列十进制小数化二进制小数.(0.1)10(0.01)103 .把下面各循环小数化为分数，注意进制，并请把4个数由小到大排序.(o.ioi)2(Oioi)3Coioi)(o.ioi)104 .循环小数化十进制分数：(10.1101)2，(10.296)10，(1.732)85 .求和：33+()2+34+()3+35+(1)*+(；)5.6 .仿例5,设x是O<x<1的数，并对所有自然数n有递推式：f3xn-1当3x<1“13Xn-I-3xn-1当3Xi)1时求使得XO=X3的X。的所有可能值(用三进制求解)，并把最小的和最大的非零数化十进制数验证.这里因表示取X的下整数.即不超过X的最大整数.7 .同本讲最后一例中各条件，OXO<1,递推式当2xn-1<1时，当2xn-1)1时，(n为自然数).改动为：求使XO=X3的所有十进制的X。值.六年级奥数上册：第九讲二进制小数习题解答习题九解答1. (o.d1dk)k个价2.解答*)1O=(焉)2=(0.00011001100-)2=(o.ooi)2，0.000110011010)10000一"FT1010II-IIoO；：IO1oI110000G盾环)(Oo1)IO=(前)10=(I1oo1OO)2=(丽XI1oO1)20.00001010001111O1O11111001)100000ii'HOO1,'I11II11OO>.I11001',i1I1100!HOO1J-IO111OiIIoO1:101010'11001；IOOO1OI1OO1IOO1OOIII1OO1I；IO11OOUoOI!IOO11O1I1oo1；-I1O1OI1OO1无成循环)得到一个循环节有2啦长的循环小数:(烹)10=(0.0000001010001111010111)23.解:.1015(.i1)2=()2=勺)10,.10165(0.101%=()8=(市)10.101(0.101)1O=(E)IO显然1016555,-<S.一999511137，从小到大排为：¢0.101)10<(o.ioi)8<(o.ioi)3<(SiOi)24.(o.ioi)2=QO)2+(o.ioi)=Q0),+(端与=2+2枭96(10,296)10=10.2+0.096=10.2+0.1×2324949=IO+1=10÷=10；1010×33165165/、1732-71723¢1.732)=1+(-)8=1+()8467467=1+=15045045 .原式=33(1+3+32)+g)2(i+；+f（用等比级数求和公式）67 .分析取三进制方式标记x,设Xo=(0.a1a2a3,)3,那么,由递推式规定：x1=(0.a2a3a4)3,x2=(0.a3a4a5,)3x3=(0.a4a5a6)3XO=X3=Caa2a3a4a5a6*"3=Ca4a5a6a7a8a9"3OXo=(.a1a2a3)3,x0=O,(0.601)3,(OOo2)3(o.)3,(o,i)3,¢0012)3,(o.io)3；(o.ioi)3(0200)3；(0.20i)3,(0.22i)；(因0贬2。=1舍去).由于循环节有3个数位，每位3种状态，共27-1=26个数，化成十进制数是°,2526.I139最小：(0.001)3=(-)3=-=x0,X1=,Xz=彳，2741v,=一，-I=V的26126x°69-521751-2625_丫=Y2626,32626°8 .方法同例5.答XO=0,pp£共7个数.附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。技巧1：培养孩子数字感要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进行计算。不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家，懂得金钱来之不易，好好学习的道理，一箭双雕！小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从数