小学五年级奥数第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答案.docx
小学五年级上册数学奥数知识点讲解第6课能被30以下质数整除的数的特征试题附答案笫六讲能被30以下质数整除的数的特征大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：N=a3a2a1a0=+a3×IO3÷a2×IO2+a1×10÷a0,有时也表示为N=-DCBAo我们已学过同余，用mod2表示除以2取余数有公式：NaO(mod2)Na1aO(mod4)Na2a1a0(mod8)(J)Na3a2a1aO(mod16)这几个公式表明一个数被2(4,8,16)整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。此外，被3(9)整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3(9)整除.我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下一如(mod9),如果，N=a.a-a1a-=a,×1000+a-×100÷a,×1O+a=a2×(999+1)+a2×(99÷1)÷a1×(9+1)+a0=Cas÷a2÷a1÷a0)÷(a3×999+az×99+a1×9),那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有Na,÷a-÷a1+a0(mod9)对于mod3,理由相仿，从而有公式：(5)N(,÷az÷a2÷a1÷ac)(mod9),N(÷a,÷a2÷a1÷a0)(mod3)。对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差(大减小)能被11整除。先看一例N=31428576,改写N为如下形式：N=6+7(11-1)+5(99+1)+8(1001-1)÷2(9999+1)+4(100001-1)+1(999999+1)+3(10000001-1)=6-7+5-8+2-4+1-3÷7×11÷5×99+8×1001+2×9999+4×100001+1×999999+3×10000001o由于下面这两行里，I199、IOOh9999、100001999999、IoOOOoO1都是11的倍数，所以N=6-7+5-8+2-4+1-3(mod11)。小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N的表达式最后一行中“借用”11的适当倍数(这样，最后一行仍都是11的倍数)，把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：设N=777a7a6a54a3a2a1a0，N11+6-7+5-8+2-4+1-33(mod11)。现在总结成一般性公式(推理理由与例题相仿).则N(a-a1÷a2-a3÷a4-a5÷a6-a7+")(mod11)或者：N(a+a2+a4+)-(a1+a3+a5+)(modi1)(当不够减时，可添加11的适当倍数)。因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差(大减小)能被11整除。我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=100k如有一个数有六位，1己为N=FEDCBA.刃6么N=FED×1000+OBA=FED×(1001)-FED+A=FED×(7×11×13)+A-FEDo所以N能被7、11、13整除，相当于而云-南或豆B-恒久(以大减小)能被7、11、13整除总结为公式：(7)N=GFEDCBAa-GFED(mod7)；(mod11)；(modi3)(当GFED时,可在国£-GFED上加上7或11或13的适当倍数)。表述为：判定某数能否被7或口或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差(大减小)，看它是否被7或11或13整除。此法则可以连续使用。例：N=31428576.判定N是否被11整除。987654987-321-333第一抗987二;第二弗441因为822不能被11整除，所以N不能被11整除。例：N=215332.判定N是否被7、11、13整除。332第一步考由于117=13X9,所以117能被13整除,但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。如N=987654321判定否被13整除？987654987-321-333第一步：987333第二/44÷而654=50X13+4,所以原数不能被13整除如直接计算，很费力：987654321=75973409×13+4。下面研究可否被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式IOO1=7X11XI3的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法对于质数"，我们有下面一些等式：17×6=102,17×59=1003,17×588=9996,17×5882=99994,我们不妨从17X59=1003出发。由于N=FEDCBA=面X1000+=FED×(1003-3)+亩M=FED×1003+OBA-3×FEDoA-3×FED(mod17)。（亦可在赤-3X品B上加上17的适当倍数）。因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。例：N=31428576,判定否被17整除。第一步：31428第二步，708×1-27994284429(93×3)-576-93708而429=25X17+4,所以N不能被U整除。例：N=2661027能否被17整除？第一步：2661第二步：956X3-217983935(7X3)-0277956又935=55X17。所以N可被17整除。下面来推导被19整除的简易判别法。寻找关键性式子：19×52=988,19×53=1007.由于N=FEDCBA=画义(1000)+而无=FED×(1007-7)+A=FED×1007+而X-7×FEDCBA-7×FED(mod19)。(亦可在亩M-7X池上加上19的适当倍数)。因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差(大减小)是否被19整除。五年级奥数上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题习题六1 .公式Ioo3=17X59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式也是判定被59整除的简便公式。2 .说明公式也是判定被53整除的简便公式。3 .61是质数，并且IOoo4=61X164,你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？4 .67是质数，1005=67×15,请证明：N=Gfedcba=Oba-5×oted(mod67)(可在右端加上67的适当倍数)。5.994=71X14,71是质数，请导出判定被71整除的公式。6 .N=31428576可否被37整除？7 .己知整除Ix2x3x4x宵3被11整除，求X可能的值。8 .判别517214316+721°能否被6整除？能否被9整除？说明理由。9 .证明21°-2$+26-2,+2?-1能被9整除。10 .求使2*能被7整除的所有自然数n.五年级奥数上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题解答习题六解答1. N=Gfedcba=Gfedx(ioo3-3)+cbaCBA-3×GFED(mod59)。2. N=GFEDX(1007-7)+OBA(V1007=19×53)A-7×OTED(mod53)。3. N=DCBA+OTE×(10004-4)DCBA-4×OTE(mod1)。4. N=GFEDC3A=OTED×(1005-5)+AA-5×GFED(mod67)。5. N=GFEDeBA=GFEDX(994+6)+A×GFED+(mod71)。6. N=3142857631428÷576320044+3236(Inod37).所以不可以O7. x=1o8. N=517214316+72100Gnod2)；N0(mod3),=N0(mod6).N3(mod9)Q9 .写成二进制N=(10001000100)2-(10001000)2=(1100110011)2,(9)W=(Iooi)*直接作二进制除法，(N)2(1001)2=(1011011)2,9N.所以，可以整除6,不能整除9。10 .(7)10=(111)2,(2n-1)o=(1OO,O-1)2=Q11)2n个0n个1因此，7I-1当且仅当n为3的倍数.附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。技巧1：培养孩子数字感要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进行计算。不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家，懂得金钱来之不易，好好学习的道理，一箭双雕！小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从数字感的培养练就孩子基本的奥数素质能力哦。技巧2：培养孩子敏锐的观察能力奥数题目中有一类题目就是移动火柴或者根据已有图案进行图案相关的规律的填充,此类型的题目考核的就是学生的观察能力，所以我们希望家长从小就开始培养孩子的观察能力。比如，给孩子的额外作业就是观察家里的变化，写日记，或者观察老师讲课的方式等等，这都是比较不错的培养孩子观察能力的方法。技巧3：培养孩子的快速记忆能力快速记忆能力的提升，利于孩子快速构建奥数题型，快速记忆题目中给出的信息，从而快速解题，孩子快速记忆力的提升，可以从语文古诗下手。要求孩子在10分钟内熟记并默写一篇古诗，渐渐按照这个标准去要求他干其他的事情，久而久之孩子就能够养成快速记忆的习惯，对其后续学习奥数会有很大的帮助的！技巧4：注重孩子发散思维的培养奥数的学习过程中，很多时候需要孩子的发散思维，但是孩子在学数学时，养成了定向思维，遇到问题就将格局定性为固定方式，因此遇到稀奇古怪，考点比较灵活的题型，孩子就无从下手了，所以我们建议家长们多多培养孩子的发散思维。培养孩子的发散思维可以从以下几点做起:如与孩子的交流中，可以说着孩子感兴趣的话题,突然扯到孩子不喜欢的东西上，慢慢孩子就有了思维的跳跃，有了思维的跳跃，孩子就能养成发散思维。还有一个比较好的培养孩子发散思维的方法,就是结合日常生活的实际例子带着孩子做一些脑筋急转弯的题目，如孩子喝水的时候，可以问孩子，我想第一口水喝到的就是瓶子最底下的水，怎么办？鼓动孩子自己去找解决方法。帮助孩子培养发散思维！奥数，很有意思的课程，希望大家能够带着孩子轻松入门和学习。同时，温馨提示家长们：孩子成长的童年只有一次，请务必去倾听自己的孩子内心深处的声音！
