对数平均不等式-教师.docx
对数平均不等式淀义:设a,b>0,a丰b,则a%Ay其“广bina-nb被称为对数平均数,作f(x)在点又2边梯形AUTP7abJc=nab-aa×2.几何解释：反比例函数f(X)=1(x->0)的图象，如图所示，API1BCI1TUI1KV,XMNIICD11X轴，A(a,O),P(|(a,1计B(b,),Q(b,j)T(aDfb1dx=1nbIna>2ba,JaXa+bInbInaS2曲边梯形ABQPoo.b3根据右图可知，边梯形Autp<梯形AUTP，所以InaIna<画，另外,S矩形ABQX<S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP<S知形ABYP,可得1 I(I1)1_b-a<1nb-1a<-1-,b-a<-b-a，b2aba综上，结合重要不等式可知：-b-a<2Inb-Ina<1b-a<=b-a,即ba÷bab/aba>ab>_->ab>a>0一+一a÷bb-a2/InbInaab等价变形Jna二吧22(a-b).之b>o)a十。Ina-Inb共出-、Ra之b>0)ba3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.b-a(一)b>-：>aaX)的应用InbIna例1(2014年)设函数f(X)=In(1+×),g(×)=Xf/(×)其中f，(x)是f()的导函数.(1)(2)(略)(3)设n=N).比较g(1)+g(2)+g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.解析(3)因为g(X)=1+x所以g(1)+g0+g(n)=：+：+÷n,÷=-(÷V+/)|，d.on+I1O+1+g()n-f(n)的大小，即只(un-f()=nn(n+1),因此比较gG)+9(2)+需比较+-+-7,jn(n+1)的大小即可.23n+1根据ba°时，b>jr;，即In7Ina1b-a<JnbJna,b故)+6R+)nxn(t)评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握.hba1当口aO时，r->a,即nb+Ipa-b>a,令abn1,InDInaa,m,11d4111则Inn1InnI肘7.InnV1-4-1-d/3n(二)¾b>FE-hb>a>0的应用例2设数列q的通项3=/耳福丹均加项的和为S。，证明：In()解析>a>0w.wnbna>t今b_D11aQ243n-.1In>=y2+n÷122n22n÷1>j>a,易证S<n(n+1).J2n2+2n÷2nn(三)a÷bb-abnab>a>0的应用2b-aInb-Ina>ab'例3.设数列加的通项a=1+不+彳+,十二，证明：a<1n(2n+1)n”4Dnh>a>Oabba解析根据b>>时而正飞，-加Jn2n+1_|n2nr>；,易叫<1n（2n+1）b-a（四）InbIna1ba+b的应用例4.（2010年）已知函数fXWXbHhCaIOX的图象在点1,1处的切线方程为所以,n2-1白区叱黑+9InInn111111即Inn+1<1+a+a+z+7+rFTT-Z11114n故1+÷*->Inn-1+23n21>"co的应用1例5.(2014预赛)已知£仅)=2仙仅+1)+-T-Sx-1XI(1)(略)e-+湍三>“(2"1)对一切正整数n均W3求证：碾碾加成立.；In2+1一1n2n-11<421,将以上各不等式左右两边相加得:4根12-14根22-14根32-1+*上叱11(2n+1)对一切正整数n均成立.4根2-14评注本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a=-2达到证明的目的.你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘,水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.强化训练.(2oi2年)已知函数f(X)=X-m(x+a)(a>0)的最小值为().(i)(2)(略)(3)证明：X-n(2n+1)<2(n=N),i=222解析(3)易求a=1,待证不等式等价于一夕+石+7+222n1,b_2n3则下z72n1-1<2n4根据ba°时，b，2即大b-a<1b-1na>IiIDaD1n-2n_J_In2n1,<In2÷1-In2n-1，将以上各不等式左右两边分别相加得:2n+1-1222221/-+-+-+<n2+"3572n-12+1Xn2-(2n+1)<2三<2建1x(1÷x)2i-1+1.得正2.(2013年新课标I)已知函数，(x)=In(1+×)-若X>°时,f()/、,求的最儡f1II11(2)设数列包，的通项a0=1+2-+3+；，证明：?n-an+1n2令1(X)=O,则X=QxJ2.入,若入<°,则当X>°时,f,()>o,f()是增函数，f()>f(o)=,不符合题意；若共入<2,则当°共X<-入时，1(x)>Qf(x)酬函数，f(x)>f(°)二°，不符合题意；若入>2，则当X>°时，f,()<o,f()是减函数，f(x)共f(o)=Q小题意；综上，入的最小值是2.JCCba21(11),当DaU忖V->-1.,即Inb-Ina<一-ba(2)a叮，InbIna2abInn+2Inn1Inn3-In+21(JI1)<2在+<2厘+K3评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小小2入n(1÷x)<"°+x)(>0)2+2x加以赋值，并进行变形，令X="In2n-In2n-1<-W1j+而将以上各不等式左右两边分别相加得:1nn11(122221)In2n_|nn<1j卜H1111砧+-4-+>In2故n+1n+22n4n2nn1n232n12nn21一I1I.即<而+市+vIrVkf+b12jt4-1111z111蹴TM"+):2限丁M亦河+k)k<2(ir+E放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.（1）用a表示出b,C；（2）（略）（3）证明：1+：+：+>Inn+1+n1.23r121解析（Db31,c=1-2a:,Cb-a21/1（3）当b>a>0rbnb,na>-F1,即InbIn.a-1,had+bb今a>n,bn1,则Inn1InI；*/nn<1
