圆的知识点总结及典型例题复习.docx

圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;3、点在圆外nd>rn点A在圆外;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的就迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；补充2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线也叫中垂线;3、角的平分线：到角两边距离相等的点的枕迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与B1的位置关系1、点在圆内nd<rn点。在圆内；a2、点在圆上nd=rn点B在圆上；0三、直线与H1的位置关系1、直线与圆相离=d>r=无交点；2、直线与圆相切=d=r=>有一个交点；3、直线与圆相交=>d<=有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1=>无交点=>d>/?+r；外切图2=>有一个交点nd=R+r；相交图3z>有两个交点=>R-r<d<R+r;内切图4=有一个交点nd=R-r；内含图5n无交点ndVR-r；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的孤。推论1:CD平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤;2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径AB_1C£>CE=DE弧BC=弧BD弧AC=弧AO中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。中，A5Co；.孤AC=孤BD六、回心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论,即：(S)ZAOb=NDOE;AB=D石：OC=OF；弧BA=弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：NAOB和NACB是弧43所对的圆心角和圆周角AOB=IZACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周南相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的孤是等孤；即：在。中，./。、NO都是所对的圆周角 ZC=ZD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角：圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，A8是直径或YNC=90。 ZC=90°AB是直径推论3:假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角彩。即：在BC中，TOC=OA=OB 48C是直角三角形或NC=90。注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在丽或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等1八、园内按四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对甭互补，外角等于它的内对角。即：在。中，四边形43C。是内接四边形/7ZC+ZBAD=180oZB+ZD=180°*；九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：.MNJ_Q4且MN过半径外端.MV是00的切线,2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图<y推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。F/f推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：/%、PB是的两条切线PA=PBPO平分ZBPA十一、I®裁定理1相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，,弦A3、CO相交于点尸，PAPB=PCPD2推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。中，直径AB_1CZ),.CE2=ae8E3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，.R4是切线，PB是割线.PA1=PCPB4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图。即：在。中，:PB、P石是割线：.PCPB=PDPE十二、两B1公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：日。2垂直平分A3。即：。1、。2相交于A、B两点、。1。2垂直平分AB十三、H1的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：RfAaQC中，B2=CO12=O1O22-CO22;2外公切线长：CO2是半径之差：内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边彩的计算1正三角形在。中ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进展：OD:BD:OB=卜布:2；2正四边形同理，四边形的有关计算在改AOAE中进展，OE:AE:O4=1:1:J13正六边形同理，六边形的有关计算在R/AOA5中进展，AB:OB:OA=I:6:2十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式例1两个同样大小的肥皂袍黏在一起，其剖面如图1所示(点O,0,是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求NTPN的大小.例2.如图，AB为。0直径，E是BC中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=IO,则AC=例3.如图，。的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()例4.如图，在。O中，ABsCD是两条弦，OE_1AB,OF±CD,垂足分别为EF.(1)如果NAoB=NCoD,那么OE与OF的大小有什么关系为什么(2)如果OE=OF,那么AB与C。的大小有什么关系AB与CD的大小有什么关系为什么ZAOB与NCoD呢例5.如图3和图4,MN是。O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P,ZAPM=ZCPM.(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2)假设交点P在。O的外部，上述结论是否成立假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由.例6如图，点O是AABC的内切圆的圆心，假设/BAC=80。，则NBoC=()A.130oB.100oC.50oD.65°例7.如图，AB为。0的直径，C是。0上一点，D在AB的延长线上，且NDCB=NA.(1)CD与。O相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2)假设CD与。O相切，且ND=30。，BD=IO,求。O的半径.例8.如以以下图，点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在X轴上.赤(1)假设点B坐标为(4,0),C)B半径为3,试判断。A与。B位置关系：(2)假设。B过M(-2,0)且与C)A相切，求B点坐标.例9.如图，正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如以以下图，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如图2494的设计方案是使AC=8,BC=6.h-DNNF(1)求AABC的边AB上的图h.(2)设DN=X,且=,当X取何值时，水池DEFNhAB的面积最大(3)实际施工时，发现在AB上距B点185的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例I1操作与证明：如以以下图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a.例12.扇形的圆心角为120。,面积为300；TCm2.(1)求扇形的弧长；(2)假设将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少例13、如图，A8是。的直径，Be是弦，OD工BC于E,交BC于D./(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)假设8C=8,ED=2,求。的半径.fXy例14.：如图等边AABC内接于点尸是劣弧PC上的一点(端点除外)，延e'长BP至D,使BD=AP,连结Cr>.CHD(1)假设AP过圆心。，如图，请你判断APQC是什么三角形并说明理由.(2)假设AP不过圆心。，如图，APQC又是什么三角形为什么罐胆适用、留.m八夕”为等I力二角也.例15.如图，四边形ABC。内接于。O,8。是。O的直径，AE±CD,垂足为E,DA平分/BDE.(1)求证：4E是G)O的切线；(2)假设NoBC=30,DE=Icm,求3。的长.例16、如图，在。O中，AB=43,AC是。O的直径，AC_1BD于F,ZA=30o.(1)求图中阴影局部的面积；/O(2)假设用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.I例17.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.Fr(1)求这个扇形的面积(结果保存).(2)在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥请说明理由.(3)当。O的半径R(R>O)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成立请说明理由.例18/1)如图OA、OB是。O的两条半径，且OA_1oB,点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切。O于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2)假设将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交OO于?，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么？(3)假设将图中的半径OB所在直线向上平行移动到。O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么例19、(2010山东德州)如图，在AABC中，AB=AC,D是BC中点，AE平分NBAD交BC于点E,点O是AB上一点，。过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1)求证：BC与。O相切；(2)当BAC=120。时，求NEFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，。的半径为1,点P是。上一点，弦AB垂直平分线段OP,点D是APB上任一点(与端点A、B不重合)，OEJ于点E,以点。为圆心、DE长为半径作。£>,分别过点A、8作。的切线，两条切线相交于点C(1)求弦AB的长；(2)判断NACB是否为定值，假设是，求出NACB的大小；否则，请说明理由；(3)记/!BC的面积为