信息论与编码理论线性分组码习题解答1206.docx
第7章线性分组码1.一个(5,3)线性码C的生成矩阵为：-1OOG=O11O100111(1)求系统生成矩阵；(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系；(3)求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；(4)求校验矩阵H；(5)列出译码表，求收到1U1O1时的译码步骤与译码结果。2.设(7,3)线性码的生成矩阵如下0101010'G=00101111001101(1)求系统生成矩阵；(2)求校验矩阵；求最小汉明距离；(4)列出伴随式表。3 .一个(6,3)线性码C的生成矩阵为：100101010011001110(1)写出它所对应的监督矩阵H；(2)求消息M=(IO1)的码字；(3)假设收到码字为101010,计算伴随式，并求最有可能的发送码字。4 .设(6,3)线性码的信息元序列为XIXM3,它满足如下监督方程组x1+x2+x4=0x2+x3+x5=0x1+x3+6=0(1)求校验矩阵，并校验IOuO是否为一个码字；(2)求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。习题答案1.一个(5,3)线性码C的生成矩阵为:-11OOG=O11O1OO111(1)求系统生成矩阵；(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系；(3)求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；(4)求校验矩阵H：(5)列出译码表，求收到F1IIo1时的译码步骤与译码结果。解：(1)线性码C的生成矩阵经如下行变换:"1IOOf"IOO1fO11O1将第2、3加到第1行)O11O1OO111OO111"IOO1f1OO1O11O1杼第3加到第2行)O1O1OOO111OO111得到线性码C的系统生成矩阵为IOO11C；S二O1O1OOO111(2)码字C=(Co,C,.,Cn-I)的编码函数为c=(m)=w010011+m11O1+m20111生成了的8个码字如下信息元系统码字OOOOOOOOOO1OO111O1OO1O1OO11O11O1IOOIOO11IO1IO1OOI1OI1OO1I11I111O(3)最小汉明距离d=2,所以可检1个错，但不能纠错。由G=/i，4xg),H=k.J,/_J得校验矩阵11110"H=10101(5)消息序列“OOO,001,010,011,100,IoIJ1O,111,由c=mGs得码字序列co=OOOOO,Ci=OO111,C2=O1010,C3=O11O1C4=IOO11C5=10100,c6=11001,C7=I1110那么译码表如下：00000OO11101010O11O110011IO1(X)HOOII1I1O10000IO11111010I11O1000110010001001O111O01000O11110001000101I1O11I11OO10001IO1IO0000100110OIO11O11OO100101010111000I1111当接收到r=(I11O1)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(OuO1),所以将它译为C=OIIo1。2.设(7,3)线性码的生成矩阵如下"0101010G=00101111001101(1)求系统生成矩阵；(2)求校验矩阵；(3)求最小汉明距离；(4)列出伴随式表。解：(1)生成矩阵G经如下行变换01010101001101'0010111交换第1、3行00101111001101010101010011010011010010111交换第2、3行)010101001010100010111得到系统生成矩阵："1001101Gs=0101010OO1O111由G=电,"=AxZ1J小,得校验矩阵为I1O11010H=0110000100010001由于校验矩阵的任意两列线性无关，3列那么线性相关，所以最小汉明距离1010过失图样为2的有Q)=21种,而由"/=He1那么计算陪集首的伴随式，构造J=3o(4)(7,3)线性码的消息序列m=0,001,010,0,100,101,110,11。由C=WGS得码字序列:co=0000000,C1=Oo1O111,c2=0101010,c3=0111101,C4=IOO1101,c5=1011010,=7种，C6=I1OOI11,G=I110000。又因伴随式有24=16种组合,过失图样为1的有伴随表如下:伴随式陪集首伴随式陪集首00000000000O1O11001000110110000001001100010010100100000I1110011000O1110010000110000011001000000100011100100100010000001001011010000100100000010OO11001010000010000001011000001103.一个(6,3)线性码。的生成矩阵为：1OO1OG=O1OO11.OO111O(I)写出它所对应的监督矩阵H；(2)求消息M=(IOI)的码字；(3)假设收到码字为IoIo10,计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：(1)线性码。的生成矩阵G就是其系统生成矩阵Gs,所以其监督矩阵直接得出:1H=O1O11OOI1O1OIOOO1(2)消息M=(moM,m2)=(1O1)，那么码字C为:c=(n)=100101+001110=1001(3)收到码字片(101010),那么伴随式-10011rH=(101010)1110()0=(OO1)010001又(6,3)线性码的消息序列厂000,001,010,011,100,101,110,111,由C=WGs得码字序列:co=000000,G=Oo1110,C2=O1OO11,C3=O11101,c4=100101,c5=101011,C6=I1O11O,C7=IIIOOOo伴随式有2?=8种情况，那么计算伴随式得到伴随表如下：伴随式陪集首000000000101100000011010000110001000100000100010000010001000001I11100010伴随式(Oo1)对应陪集首为(000001),而c=r+e,那么由收到的码字r=(101010),最有可能发送的码字。为：c=(101011)o4.设(6,3)线性码的信息元序列为工共小，它满足如下监督方程组x1+x2+x4=0x2+x3+x5=0再÷+=0(1)求校验矩阵，并校验IO1IO是否为一个码字；(2)求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：(1)由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：110100"H=O11010101001因为收到的序列IOI1O为5位，而由(6,3)线性码生成的码字为6位，所以10110不是码字。由G=UAM田,H=AgJj,那么生成矩阵为：10010G=010110=Gs001011信息码元序列M=(101),由c=mGs得码字为c：C=%(IOO1O1)+犯(010110)÷n,(001011)=(101110)
