专题13 导数（知识梳理）（文）（原卷版）附答案.docx

专题13导数(知识梳理)一、基本概念1、导数定义：函数y=/(x)在=/处的瞬时变化率Iim竺二Iim/图"Ay)一"瓦),我们称它为函数xOArTOy=fM在X=Xo处的导数,记作,()或y'I/,即)=1im_=Iim"也十黑唳。附注：导数即为函数y=/(x)在X=Xo处的瞬时变化率；定义的变化形式：(x)=1imIim/7®3).rOr0Arf'(x)=Iim包=Iim，。)一/(餐)./(x)=Iim/5-斓-&o).0XroX-X0-vOx二不一式0，当>0时,3->与，fx)=Iim-KTXOX-X0求函数y=(x)在R=Xo处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。2、基本初等函数的八个必记导数公式原函数导函数原函数导函数f(x)=C(C为常数)/'()=of(x)=x,(nR)(X)=Z-1f(x)=SinXf,(x)=COSXf(x)=COSX/(x)="sinx/(x)=av(«>OS.1)fx)=axIna/(x)=1ogax(a>0«1)/(X)=-IogeXf(x)=exf,M=exf(x)=Inxf,()=X3、导数四则运算法则"(x)±g*)'=r*)±g'(x);(2)g(x)r=rg。)+g'a)；(3)gr="(g(%)工°)。特别提示：cf*)r=crcx),即常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数。4、复合函数的导数(1)复合函数定义：一般地对于两个函数y=(x)和=g(x),如果通过变量，y可以表示成X的函数,就称这个函数为y=(x)Ww=g(x)的复合函数,记作y=fg(x)。(2)复合函数求导法则：复合函数y=/Ig(x)的导数和函数y=/(x)、"=g(x)的导数的关系为a=工)即y对X的导数等于y对U的导数与对工的导数的乘积。例1-1.求函数y=3/在X=I处的导数。例1-2.求导：/(x)=C;/()=X;F(X)=X2；(4)f()=；f(x)=石X变式1J.若物体的运动方程是s(r)=rsinf,则物体在，=2时的瞬时速度为()。A、cos2+2sin2B、2sin2-cos2C、sin2+2cos2D、2cos-sin2变式1-2.如果函数f(x)=/+,+5,则/(1)=()。XA、0B、1C、5D、不存在例1-3.函数y=%的导数是oX变式13.函数/(X)=十的导数是。Jx3+2x÷11.x2Sinx-2xsinx-(-x2)sxsin2x-2xsinx÷(1-x2)sinx变式1-4.设/(1)二一,(x)=()<,-2xsinX+(I-2)sxsin2x-2xsinx-(1-x2)sinx变式15函数/(x)=(2x+1)/的导函数为r(x),则八0)=()。A、0B、1C、2D、3例14函数y=(x-)(x-6)在x=处的导数为。变式1-6.曲线y=x(1-at)2(>0),且y'2=5,则实数4的值为()。A、0B、1C、2D、3变式1-7.求导：（1）y=tanx;(2)y=(x+1)(x÷2)(x+3)。-(x2+1)(x1)能力提升：己知函数/(幻=:,判断f(x)在X=I处是否可导？(x+1)(x>1)例1-5.函数/(幻=(2+/)2的导数为_o变式1-8.已知y=(1+cos2x)2,则>'=。(1+x')cosx能力提升：求导：(1)y=;(2)y=(r->sin2x)3;(3)y=/(x2+1)二、导数的几何意义1、切线的斜率：函数/(x)在两处的导数就是曲线八幻在点P(%/(为)处的切线的斜率，因此曲线/*)在点P处的切线的斜率A=/'*。),相应的切线方程为y-(%)=,()(x-b)o例2-1.曲线y=-2/+1在点(Oj)的切线斜率是()。变式2-1.曲线y=gf在点a，处切线的倾斜角为()。例2-2.曲线y=x(31nx+1)在点(1,1)处的切线方程为变式2-2.已知/")为偶函数，当x0时，/(x)="i7,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是O例2-3.己知点P(TJ),点。(2,4)是曲线y=X2上的两点,求与直线PQ平行的曲线的切线方程。变式2-3.由曲线y=ri在点(1,1)处的切线与“轴、直线x=2所围成的三角形的面积为。例2-4.函数*)=3-2-+的图像上有两点A(U)和B(IQ),在区间(0,1)内求实数%使得函数/*)的图像在x=0处的切线平行于直线A8。变式2-4.已知直线y=-x+1是函数/()=-1ex图像的切线,则实数二。a变式25若曲线y=f+b在点(1,力处的切线方程是x-y+1=O,则()。A、=-1,Z?=2B、a=-yb=2C、a=,b=-2D、a=yb=2三、导数与函数的联系1、函数的单调性：在某个区间(4,份内,如果f'a)>0,那么函数y=(x)在这个区间内单调递增。在某个区间(,b)内,如果f'(x)<O,那么函数y=/(X)在这个区间内单调递减。2、函数的极值：设函数/(幻在点与附近有定义,如果对与附近所有的点X，都有/(幻</00)，那么了(“是函数的一个极大值,记作y板大值=/(x0)；如果对附近的所有的点都有/W>/(),那么/(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=/()0极大值与极小值统称为极值。3、函数的最值：将函数y=f(x)在。，切内的各极值与端点处的函数值/()、/S)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。例3-1.若函数)=f+v+1在d，+8)上是增函数,则。的取值范围是()。X2A、-1,0B、T,+oo)C、0,3D、3,+)变式3-1.若函数/Xx)=2+纨+1在(1+8)上存在减区间,求实数的取值范围是()。X2A、(-oo,3)B、-1,0C、0,3D、3,+)例3-2.函数/。)=。(1一,)一21114(。/?)送(1)=一,若至少存在一个入061，eI,使得了(%)>g(Xo)成立,XX则实数4的范围为()。A、0,+oo)B、(O,+oo)C、1,+)D、(1,+)变式3-2.设函数/(x)=3-g2-2+5,若对于任意x-1,2都有/(x)<机成立,求实数机的取值范围。例3-3.若对DX、)，£0,+8),不等式4始“-2+/尸2+2恒成立,则实数4的最大值是()。As-B、1C、1D、242变式3-3.己知函数/(x)=x1nx。求f(x)的最小值；(2)若对所有X1都有/(X)以-1,求实数的取值范围。例34设函数/(x)=A?-6x+5,xeR。求了(幻的单调区间和极值；(2)若关于X的方程/(x)="有3个不同实根,求实数的取值范围。(3)已知当X(1,+co)时,f(x)Z(X-1)恒成立,求实数k的取值范围。变式3-4.已知函数/(x)=ox?+2In(I-幻(为实数)。若/(x)在X=-1处有极值,求。的值；(2)若/(x)在-3,-2上是增函数,求a的取值范围。变式3-5.已知函数/()=g2+Inx。求函数f(x)在1,0上的最大值、最小值；(2)求证：在区间1,+8)上,函数/(X)的图像在函数g()=:3图像的下方。专题13导数(知识梳理)一、基本概念1、导数定义：函数y=/(%)在4=%处的瞬时变化率Iim竺二Iim.图十,我们称它为函数xOArTOy=fM在X=XO处的导数,记作,()或y'I/,即/(瓦)=1im_辞=Iim'"。+黑一0。)。附注：导数即为函数y=/(x)在X=XO处的瞬时变化率；定义的变化形式：/'(幻=Iim包=Iim/5)7®%).rOr0Arf'(x)=Iim包=Iim-"演).八力二Iim.0XroX-X0-vOx二4一式0，当>0时,彳->瓦，f,M=Iim“/)。KTXOX-X0求函数y=(x)在R=Xo处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。2、基本初等函数的八个必记导数公式原函数导函数原函数导函数f(x)=C(C为常数)/'()=of(x)=x,(nR)(X)=Z-1f(x)=SinXf,(x)=COSXf(x)=COSX/(x)="sinx/(x)="(a>O且11)fx)=axIna/(x)=1ogax(a>0«1)/(X)=-IogeXf(x)=exf,=exf(x)=Inxf,()=X3、导数四则运算法则"(x)±g*)'=r*)±g'(x);(2)g(x)r=rg。)+g'a)；(3)A=AX)g(：)YF)g'3)(g(x)0)og(x)g*)J特别提示：c()r=c'(),即常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数。4、复合函数的导数(1)复合函数定义：一般地对于两个函数y=(x)和=g(x),如果通过变量，y可以表示成X的函数,就称这个函数为y=/(x)和=g(x)的复合函数,记作y=fg(x)o(2)复合函数求导法则：复合函数y=1g(x)的导数和函数y=/(x)、u=g(x)的导数的关系为=即y对X的导数等于y对u的导数与对X的导数的乘积。例1-1.求函数y=32在X=I处的导数。分析：先求V=Ay=/(1+x)-/(1)=6x+(x)2,再求竺=6+x,再求Iim=6oXAr03r2-3I23(工2_2)【解析】y,I.-.=Iim=Iim-=Iim3(X+1)=6：E-tx-1.tx-1.v例1-2.求导：/()=C:/(x)=x;/(X)=/；f()=1；/(x)=4<,X【解析】包=f(x+x)二f(x)=£z£=0"，")=1im包=1im0=0：xxxAr0Ar1TO包=1=Ir(X)=1im包=1im1=1;xxAr0AvrO=("+&)=2x+x,x)=Iim=Iim(2x+r)=2x：xx,VOAvrO1_1_®-=x+V=2,f()=Iim=Iim(=)=y5xxX+XArTOAXArToX+XXX,二Ayx÷x-x1¢,、.Ayr11.5)=.7=.(x)=Iim=1imI尸二产。xxx+x+x-x-x+r+x2x变式1-1.若物体的运动方程是Sa)=sinf,则物体在，=2时的瞬时速度为()。A、cos2+2sin2B、2sin2-cos2C、sin2+2cos2D、2cos-sin2【参考