专题09 空间向量与立体几何（同步练习）（理）（原卷版）附答案.docx

专题09空间向量与立体几何（同步练习）一、空间向量基础知识1-1.对于任意空间向量Z=（卬g）I=S1也也）,给出下列三个命题：前/Bu>m=3=?；若仿与q=%=%=1,则。为单位向量；®aA.b<>afy+a2b2+a3b3=0«其中真命题的个数为（）。A、B、C、D、O1231-2.在四面体。-ABC中,5是ABC重心,G是OG1上一点,且OG=3GG”若OS=xOAyOB+zOC(工,弘2)为()oA、B、C、D、333f2223,3,1-3.设q=2m-+A,%=zn+3-2Z,t¾=-22+/-32=3"z+2+5A,（其中加、j、k是两两垂直的单位向量）,若q=q+q+%,则实数、p、的值分别是（）。An1,-2,-3B、一2,1,-3C、一2,1,3D、-1,2,3二、直线与直线成角2-1.如图所示,点尸在正方形ABCD所在的平面外,Q4_1平面ABCD,FA=AB,则异面直线PB与AC所成的角是（）。A、90°B、60°C、45°D、30°2-2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PAJ_平面48C,。是棱尸8的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CBj.A8,则异面直线PC与Ac）所成角的余弦值为（）。30"13O53OW-3O52-3.已知二面角-p为60°,48u,48J./,A为垂足,COu,Ce/,NACo=I355,则异面直线AB与Co所成角的余弦值为（）。三、直线与平面成角3-1.如图,在长方体ABCD-ABeB中,AB=I,BC=6,点M在棱CG上,且MA_1MA,则AMAD1的面积的最小值为,此时棱CG与平面MADi所成角的正弦值为.四、平面与平面成角4-1.如图所示，P是二面角a-A8-棱上的一点，分别在a、。平面内引射线尸”、尸N,如果NBPW=NBW=45°,NM尸N=60°,那么二面角a-AB-的大小为（）。产U-7A、60°B、7。C、8()D、90,4-2.己知经过点PC%,”,法向量为e=（A8,O的平面方程为A（X-司）+5（），一）+C（Z-z）=0,现给出平面的方程为x-y+z=1,平面P的方程为二-2一三二1,则平面。、B成角的余弦值为（）。6363五、空间距离5-1.已知在棱长均为2的正三棱柱A6C-A4G中,点。为MG的中点,若在棱48上存在一点尸,使得8P平面Ac。,则B1P的长度为（）。A、2B、5Cs6D、35-2.已知在正四棱柱ABCf>-A8CQ中,AB=2,CG=2i,E为CG的中点,则直线AG与平面阻的距离为（）。A、1B、2C、3D、2专题09空间向量与立体几何（同步练习）一、空间向量基础知识-.对于任意空间向量】=（%）也也）,给出下列三个命题：舒"Om=等=鲁；若biO1%=02=%=1,则为单位向量；（3）±<=>a?!+a2b2+a3b3=Oo其中真命题的个数为（）。A、OB、1C、2D、3【参考答案】B【解析】4、"、/有可能有O.例如。=（1,1,1）、力=（0,0,0）,则。从但不能推出"=答=答,错；Aq=%=%=1，则IaI=百1，不是单位向量，错；+%3+%=0,对；故选B.1-2.在四面体O-ABC中,G是ABC重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若。S=X赤+），而+z反,则。,招2）为（）oAjI1)B(333111dr222A、(了了NB、(了了NC、(?-,-)D、【参考答案】A【解析】连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,族=2(而+宿=(而一2苏+3).22.2.1.II.13则AG1=-AE=-(OB-2OA+OC),OG=3GG1=3(OG1-OG),OG=OG,313*13*1-2*1.111.OG=-OG,=-(OA+AG,)=-(OA+-OBOA+-OC)=-OA+-OB+-OC.444333444故选A。1-3.设4=2帆一/+%,02=?+3)-2%,为=-2m+-3%,g=3w+2+5%,(其中w、j、工是两两垂直的单位向量）,若%=入4+以生+%，则实数入、M'的值分别是（）。A、1,-2,-3B、-2,1,-3C、-2,1,3D、-1,2,3【参考答案】B【解析】a4=(2w-j+k)+(m+3j-2k)+(-2m+j-3k)=3m+2j+5k,即(2+-2)w+(-+3+)J+(-2-3)=3w+2y+5,则=-2、=1,=-3,故选B。二、直线与直线成角2-1.如图所示,点尸在正方形ABCD所在的平面外,4J_平面ABCO,BA=AB,则异面直线PB与AC所成的角是（）。A、90°B、60°C、45°D、30°【参考答案】B【解析】将其还原成正方体ABCD-PQRS.PBHSC,且SC=AC=SA=血白,则ACS为正三角形,则ACSC成角为60。,即PBAC成角为60°,故选Bo2-2.如图所示,在三棱锥尸-A8C中，B4_1平面ABC,Q是棱尸B的中点，已知PA=BC=2yAB=4.C8_1A8,则异面直线PC与AD所成角的余弦值为()。YPr3010D、手【参考答案】C【解析】E4_1平面ABC1A3、PA1BC,过点A作AEC8,又C8_1AB.则4ABAE两两垂直，如图,以A为坐标原点,直线A8、AE.A尸为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0)、P(0,0,2)8(4,0,0)、C(4,-2,0),又。为PB中点,则£>(2。1)；故而=(-4,2,2),AD=(2,0,1),.*.COS<AD,CP>=【解析】还原长方体,则PMA。，PM=2AD,则异面直线PC与Ae)所成的角为PC与PM所成的角即NCPM,在AcPM中，设异面直线PC与AD所成的角为0,则COSO=|cos<AD,CP>=答,故选CoPM=2AD=AN=PB=IAB2+PA1=42+22=20=25,PC=AC2+E42=AB2+BC2+PA1=42+22+22=24=26.CM=yMB2+SC2=42+22=20=25.2-3.已知二面角-3为60°,ABUa,AB_1/,4为垂足,。(=工。/,/4。=135则异面直线八8与CO所成角的余弦值为()。【参考答案】B【解析】在长方体中求解该问题,平面为平面ABM,P平面为平面A5EE由于二面角-/一p为60°,NBIAB=ZE1FE=60°.设边长AB=AF=2,则皮=2百,设C为A户的中点,则FC=1VZACD=135°,ZDCF=45°,则DF=I,在RtDFG中,DG=叵、FG=1建系,则C(2,1,0),D(-,(),),2222,13CD=(-1,_),ba=(2,0,0),则异面直线AB与CD所成角的余弦值为CO0。=里空-=也,故选B。CDBA4三、直线与平面成角3-1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=6点M在棱CC1上,且MDi1MA,则MD,的面积的最小值为,此时棱CC1与平面MAD1所成角的正弦值为。【参考答案】1=23【解析】如图建系,则A(i,0,0)O(OOO),设M(O,1,f)、D1(OAz)JiJz>>0,MDy=(0,-1,Z-/),AM=(-3,1).MD1±MA,.MD1AM=-+t(z-t)=O,即zT=；,Sw=gMR14MKI砺I.而I=gX12+(V3)2+z2×12+(z-O2=1xj(4+)(1+f=白|5+/+鲁川5+2户孑=1,JAMAD'的面积的最小值为3，当且仅当，=0、Z=吧时取等号,22此时,CC=Z=乎,JG(0,1,'yF5.132.32MD1=(0,-1,-y),AD1=(-3,0,-),CC1=(0,0,-),设平面MAA的法向量为Z=,%z),在线CG与平面M4A所成角的平面角为8,rt1nMD1=01则',即<nAD1=0后nZ1-y+-Z=o_r-,Kz1=V2,K0xi=V3,j1=1,n=(V3,1,V2),OIQ.,.sin=|cos<n,CCi>=W五3+1÷2=走3÷z=°四、平面与平面成角4-1.如图所示，尸是二面角-AB-棱上的一点，分别在、B平面内引射线尸、PN,如果/BPM=NBPN=45°,NMPN=60°,那么二面角a-A8-的大小为()。B、70°A、60°C、80D、90£【参考答案】D【解析】过AB上一点。分别在a、P内做AB的垂线,交PM、PN于点、M、N,则NMQN即为二面角-A8-的平面角,如下图所示:设尸Q=,YZQPN=NQPM=45°,/.QN=QM=a.PN=PM=41a又V4MPN=60o,JbMPN为等边三角形,则MN=叵a,解AMQN易得NMQN=90°.故选D<.4-2.已知经过点Pedy,马）,法向量为三（ABQ的平面方程为4。一再）+3（y-y）+C（Z-ZI）=O,现给【参考答案】B【解析】平面a过点尸(0,0,1),则平面a的方程为(x-0)-(y-0)+(z-1)=0,其法向量为7=(1,-1,1),xyz.C/=1=>x-2yz=6,636平面过点Q(0,0,-6),则平面a的方程为(x-0)-2(>'-0)-(z+6)=0,其法向量为7=(1,-2,-1).kmn1+212V2cos<m,n>=-7=7=7=、ImI-1?IJ3j6323,一*/2设平面a、成角的平面角为,则cos=|cos<m,n>=,故选B1五、空间距离5-1.已知在棱长均为2的正三棱柱A5C-ABIG中,点。为片G的中点,若在棱AB上存在一点P,使得MP平面ACQ,则瓦尸的长度为（）。A、2B.5C>6D、3【参考答案】B【解析】如图,设点P为43的中点、取AM的中点Q,连接AQ.DQ.则与PAQ,又AQU平面AQO,8P平面AQO、易知ACDQ,故平面AQZ）与平面ACD是同一个平面，.平面ACD,此时BIP=标,故选Bo5-2.已知在正四棱柱A8C7）1BIGR中,AB=2,CG=2,E为CG的中点，则直线AG与平面阻的距离为（）。A、1B>2C>3D、2【参考答案】D【解析】连接AC交BD于。,连结OE,由题意得ACJ/OE,AC1/平面BED,直线AC1到平面BED的距离等于点A到平面BED的距离,也等于点C到平面8ED的距离，作CH1