专题10 简单几何体的表面积与体积（知识精讲）（解析版）.docx
专题十简单几何体的表面积与体积知识精讲一知识结构图内容考点关注点简单几何体的表面积与体积棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积求多面体的表面积、体积旋转体的表面积、体积求旋转体的表面积、体积球的截面问题求有关球的截面面积、体积与球有关的切、接问题求有关几何体的体积、表面积二.学法指导1 .棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长,是掌握它们的表面积有关问题的关键.2 .计算棱柱、棱锥、棱台的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面,将空间问题转化为平面问题.3 .在几何体的体积计算中,注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.4 .圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.5 .计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.6 .求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S球=4定心,球的体积公式VZ球=%R是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.7 .有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.8 .注意一个直角三角形,即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理.9 .常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.三.知识点贯通知识点1简单几何体的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.例题1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.【解析】如图,设底面对南线AC=4,8D="交点为0,对角线AIC=I5.8Z)=9,02+52=1522+52=92,a2=200,=56.该直四棱柱的底面是菱形，222(AC,(Bf4+炉200+56八.CAB"=(2J+2J=4=64,»AB=S.，直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.知识点二简单几何体的体积棱柱、棱锥、棱台的体积：棱柱的体积公式V=SMS为底面面积,/7为高)；棱锥的体积公式V=TSh(S为底面面积为高)；棱台的体积公式V=*(S+函+S)其中,台体的上、下底面面积分别为9、S,高为无例题2,三棱台ABC-A11C中工8：1=1：2,求三棱锥4X5C三棱锥8-43C,三棱锥C-AiBiCi的体积之比.(解析】设三棱台的高为人,Saa8C=SMJSaA181C1=4S.Va1.abc="Sabc'h=Sh,_4V6a181CI=QS“181CI»=1S/，17又V=5/(5+45+2S)=j5?,*V-A1BC=V-Vz-ACVc-AIBICI，体积比为1：2：4.知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱'圆锥、圆台的表面积圆柱81底面积：S底=r2侧面积：Sw=2r表面积：S=2r1+2r圆锥(0)"底面积：S底=r2侧面积：Sm=r1表面积：S=r1+r圆台二上底面面积：S上底=让F底面面积：S下底=述侧面积：Sw=fr+)表面积：S=(2+尸+/+”)例题3.(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是()(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.求圆台的母线长.求圆台的表面积.（1）【参考答案】A【解析】设圆柱底面半径为二则高为2口,II2表面积：侧面积=（2"）2+2r2:（2">=（2）【解析】设圆台的母线长为/,则由题意得（2+6）7=×22+×62,8=40,=5,该圆台的母线长为5.由可得圆台的表面积为S=×（2÷6）×5÷22÷×62=40+4÷36=80.知识点四圆柱、圆锥、圆台的体积圆柱、圆锥、圆台的体积公式V m=nrh（r是底面半径/是高），V Mw=2（r是底面半径,力是高），V M=I%（户+rh+r2）（厂分别是上、下底面半径,是高）.例题4.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是（）A.1：1B.1：6C.1：7D.1：8【参考答案】C【解析】如图,设圆锥底半径OB=R,高Po=%,"为PO中点,.R7=1.3=段.OA=KOBPOT*VVa6Oo=I错误！错误!-错误1R2.修=袅选CV圆台OO/知识点五球的表面积与体积1 .球的表面积设球的半径为七则球的表面积S=生理,即球的表面积等于它的大圆面积的生倍.2 .球的体积设球的半径为R,则球的体积V=rf.例题5.(1)已知球的表面积为64,求它的体积；(2)已知球的体积为争,求它的表面积.【解析】(1)设球的半径为人则由已知得4r2=64,r=4.所以球的体积：V=京兀x=W.(2)设球的半径为凡由已知得手R3=乎),所以R=5,所以球的表面积为：S=4iR2=4×52=100.五易错点分析例题6.如图,正方体A8CZAGQ的棱长为1,E,F分别为线段AA1BC上的点,则三棱锥。-瓦"的体积为.【参考答案】卷【解析】利用三棱锥的体枳公式直接求解.Vdi-Edf=Vf.ddie=Sdide4B=××IXIX1=几何体中求三棱锥的体积,应注意同底等高、等底等高的转化。例题7.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8兀,则这两个截面间的距离为【参考答案】1或7【解析】若两个平行截面在球心同侧,如图,则两个截面间的距离为，5匚?一小匚不=1:若两个平行截面在球心异侧,如图,则两个截面间的距离为严二学+，产不=7.球的截面问题,应注意直角三角形的运用即由球心距（球心到截面圆心的距离）、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理.
