专题08 数列（同步练习）B卷（原卷版） 附答案.docx

专题08数列（同步练习）B卷二、数列求和（一）公式法：如已知或求出等差和等比数列,则可直接套用其求和公式求和。如出现一些特殊的常用应直接应用公式求和。1、等差数列求和公式：Sn=旦旦=%+丁”1，f+"ST)d；222Si=S+S11+md。na1(q=1)2、等比数列求和公式：Sm=>1(1-qn)_1-anq；1-q=T(q1)Si=Sm+Sm=S+q',Sm。3、一些常用的求和公式：S“=1+2+=)Sw=2+4÷.2=2+7S=1+3+(2w-1)=h2Sn=1+22+=/i(+1),(2+1)S”=1'+2+,/=(+1)262例1-1、已知10g3X=,求x+x?+”的值。Iog23例1-2、已知等差数列%中%=9,牝=21,求等差数列%的前“项和为5”。又令2=2",求等差数列付的前项和Tn。例13、等比数列%的前项和S“=2一P例Y+域+展=O（二）分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列,再求和。例2-1、求数列的前项和：1+1,÷4,7+77k+3-2,例2-2、已知等差数列%的首项为1前10项的和为145,求。2+4+"的值。例2-3、求1+11+111+以工二工之和。r1（三）倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。例3-1、求sin21+sin22o÷+sin289°的值。例3-2、若/(X)=2、7，则/(-5)+/(-4)+/(5)+/(6)=。(四)裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,只余有限几项,就可以化简后求和。适用条件：I'一1其中%是各项不为。的等差数列,c为常数,可拆解为一=】(上一)；a"。,da”一些常用的裂项公式:111(1)=(+1)nn+1=()(2-1)(2+1)22/112n+1(3)/1,、=7-(-);(4).1=w+1-Jw；n(n+)kn+w+1+(5)(a-b)(an+i-b)=ai(an-ba,+i-bj(Q*1)+1)(+2)2"(+1)5+1)(+2)常见放缩公式：(1)2(J"+1一册)=/2=<-=<-7=-2y=2(yfn-Vw-I)；/1+1+/JyjHy/nhyH-1例4-1、求数列r,-r17=,的前项和。1+22+3÷+1OO例4-2、数列%中。“=+'一,又b1,=,求数列2的前项和。+1+171+1ana1t+1例4-3、已知数列%的前项和为S,吗=1,Sn+1=4at1+1,设b11=an+1-Ian。证明数列付“是等比数列。(2)数列c“满足cn=-一(nN+),求7；=q。2+。2。3+Fcn+1。例44、求数列1111+2,1+2+31g2b+3(GN)的前n项和Sno1+2+3+例4S求数列而，旃，9-2X3/W）的前项和九五、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。此法即为等比数列求和公式的推导方法。例5-1、求数列“x的前项和。例5-2、求和：S"=1+3x+52+73+.+(2-I)X”7。31例53、求数列1,1，,二,的前项和S。44六、分类讨论法：1、分奇偶讨论：当数列的通项公式中出现（-1）”或（-r时,需要分为奇数或者为偶数进行讨论。例6-1、已知数列%中明=（-1）”（2-1）,求数列%的前项和S“o2、分正负讨论：当数列的通项公式中出现绝对值%I求前项和的问题时,需要分正负值进行讨论。(I)数列%为等差数歹J,41>O,J<O,m>0,am+10,前项和为S“，S1t,nm则数列%的前项和为骞=；I-S11+2Sm,nm+1(2)数列%为等差数列,<O,J>O,am<0,w+1NO,前项和为S,一S119nm则数列%1的前项和为Tn=n。Sm-2Sm,w7/1+1例6-2、在等差数列%中,叫>O,a1o11V0,若此数列的前IO项和Sn）=36,前18项和S18=12,则数列%的前18项和（8的值是（）。A、24B、48Cs60D、84例6-3、在等差数列%中,a1>0,mm+1V0,若此数列的前JW项和Sm=p,前帆+项和Si=q,则数列%的前帆+项和£»+=一。七、周期法：有的数列是周期数列,把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。例7-1、在数列%中=1,。2=3，%+2=%+1-。”（£NJ求S2023O八、递推法例8/、数列%的前项和S.与%满足%、S、S“-；（，亚2）成等比数列,且=1,求S。专题08数列(同步练习)B卷二、数列求和(一)公式法：如已知或求出等差和等比数列,则可直接套用其求和公式求和。如出现些特殊的常用应直接应用公式求和。1、等差数列求和公式：S=Q,2+小T)d；222S%"=Sm+S1t+mnd。w1=1)2、等比数列求和公式：S"=q(1-q").%-%q;n=FTqSi=SmVSI1=SI1+q"Sa,Q3、一些常用的求和公式：Sn=1+2+i=S=2+4+,+2/2=+S=1+3+(2-1)="n2Sn=1"+2?+=(h+1)(2+1)Sn=I3+23+/I3=n(+1)262例1-1、已知1og'X=1,求x+X?+”的值。1og?3【解析】Vog3x=-？-=-1og32=Iog3=>X=Og2322x+x2+x,*=i+()2+(i)n=11-1一一212n例1-2、已知等差数列%中心=9,。5=21,求等差数列%的前项和为5。又令=2%,求等差数列a的前项和筹。（解析】等差数列%=4+1前n项和为Sn=5+4+12n=(2+3)n：1-(24)z,_25(24,-1)1-2415等比数列bn=2*+,前项和为7；=2$例1-3、等比数列J%的前项和Sm2n-p,则+婿+。：=【解析】1(4w-1)3【解析】当=1时,=2-p；当2时,%=S-S1=(2-p)-(2"T-p)=2n-1,Y数歹U%为等比数列,6=2-p=2,-1=1=>p=1.数列%为首项为1公比为2的等比数列，故等比数列。：为首项为1公比为厂=4的等比数列，14”1%+,+%=IX=(4”1)：,-"1-43(二)分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列,再求和。例2-1、求数列的前项和：1+1,÷4,7-+7+32,.aaa【解析】设S=(1+1)+(1+4)+(+7)+(X+3-2),aaa将其每一项拆开再重新组合得：S“=(1+4+±)+(1+4+7+3-2).aaaW11c(3-1)”(3+1)iIa=1,S11=+=；221 .±上an.(3w-1)w”储一1时Sn=5-+=+O"112a-12a例2-2、已知等差数列%的首项为1,前10项的和为145,求用+4+%的值。n×9【解析】SIo=Io%+Xd=145nd=3.则a11=%+(1)d=3-2=32”-2.*C1y+64÷÷dt=3,(2+2-4F2")2i-2z,=3×2×2=32n+,-2n-601-2例2-3、求1+11+111+红土二1之和。f1【解析】由于1111=,乂9999=(10"一1)VOV7ZO*11原式=g(101)+g(102-1)+§(1()3-1)+,.,+§(10”一1)=-(101+102÷103÷-10z,)-(1+1+1÷>1)991 IO(IOrt-I)n=910-19=(10h+,-10-9)(三)倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。例3-1、求sin21+sin22+sin289°的值。【解析】设S=sin2+sin22+sin289.将其右边反序得S=Sin289+sin22+sin21°又Vsin2+Sin289=sin2+cos2=1,2S=1×89S=44.5例3-2、若/(X)=，则/(-5)+/(T)+-+/(5)+/(6)=。【解析】32-2x12xFy，【解析】/(X)=1=,/(I-X)=广=r=平,2x+22,-÷22+i2xI+2+i=2*(x)+(1-x)=v4'/(-5)+M)+/(5)+/(6)=/(-5)+/(6)÷(-4)+/(5)+/(-3)+/(4)+/(-2)+/(3)+/(-1)÷/(2)+/(0)+/(1)=X6=3202(四)裂项相消法:就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,只余有限几项,就可以化简后求和。适用条件：一其中an是各项不为0的等差数列,c为常数,可拆解为一=4(-)；凡?皿««4.1dana11.部分无理数列）：1111A(A-I)-1k(3)=<-7<kk+1(+1)k2例4-1>求数歹IJ-7=,=7=,7=1,的前/1项和。1+22+3+z+1【解析】设=-r=而I-JTn+1则S11TTr百口r+yfn+V+1=(V2Vi)+(V3V2)+(Vw+1Vw)=Vw+11例42、数列%中=+1n+1+1,又4=-,求数列的前项和。a*a+1【解析】Van+1/1+1+1n.h2112ww+1n+1'1'2=8x(1_1)+(1-1)+(1,1)+.+(1_1.)=8x(1,8例4-3、已知数列4的前项和为S“，叫M=4%+1,设2=%+-2q