不动点与蛛网图 （解析版）.docx

不动点与蛛网图不动点与蛛网图第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数''4+y,4TX得到的函数如：/+=iwN+,把当作y,把4当做X=y=/；2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.前一次计算时的y,是后一次计算的X.3、数列的不动点：满足wN+的4的数值.例1.己知6=。，j+1=eN+.若q1是常数数列，求q的值.解：""+I=Y=Xq=O或4=1，4=°或1(I)数列的“不动点”其实不是点，而是数值；(2)若q=不动点，则数列是常数数列，4=不动点.二、进一步分析：满足4+尸4,mwN+的%的数值,叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？=。：+8=a”=Y-q+8=O=/无实数解例2.已知数列4满足q=。，。1=。；+5.若数列q有不动点，则实数b的取值范围是.(1)数列角度力0a:一%+b=o=A=i-4bO=b!1+=%+04(2)函数角度：X1*<z>2+Z>=<z>2-x+h=O=>=1-4Z>0=>Z>-y=x+b4(3)函数图象的角度:数列4有不动点O生成函数的图象与直线y=有交点;生成函数图象与直线y=的交点的横（纵）坐标=不动点.例3、已知数列4满足an+1=a,+b,则（）A.当力=；时，Dae凡“>>10恒成立B.当b=!时，a40>10恒成立4C.当b=2时，EcigR，4。>10恒成立D.当方二T时，YawR,%>10恒成立解:（1）当人j时，数列%有不动点，即卜向二4+"，FW+"有实数解;41%=/Iy=X（2）图象角度：当八；时,抛物线y=*与直线尸”有交点;（3）不动点七的数值：B中=：,由/+：=%得：b=1C中b=-2,由V2=X得：XO=T或2D中b=T,由工2一4=X得：与=1±V2选项B中，取q=g,则4=；,>>0不成立；C,D同理可排除.实际不用算，看图判断出：不动点<10即可.问题：当=3,即4+=d+g时，无论取何值，4。>10为什么恒成立?1、观察抛物线和直线的位置关系：（1）函数角度：y=V+3>必=恒成立;（2）数列角度：aM=%5+3,。“恒成立；=/严格单调递增2、如何保证%>1。呢？.211a2=4÷22.4m÷=z>216311C4>丁>24.*.a10>¾>16>10三、不动点的分类例4.已知=,an+1=2an-1,e讨论%的单调性.解：（1）当4=1时，。，叫为常数数歹心（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：an>,凡“一q=可-1>°j递增如14=2时，=>2,3,5,9,17。“与不动点XO=I的差，随n增大而增大.(3)当时，同理可证q<1,且4递减如4=0时，=>0,-1,-3,-7,勺与不动点=1的差，也随n增大而增大.总之，当4工1时，随着n增大，勺逐渐“远离”不动点.FP壬；厂mi这种不动点，叫“排斥不动点例5.己知4=,f1+=g凡+g，N+.讨论4的单调性.解：(1)当4=1时，?=bg为常数数列；(2)当q>1时，如4=2时，c35917=2,一,一,一,一24816数列递减，随n增大，可向不动点XO=I逐渐“靠拢”；(3)当<1时，如4=0时，八13715n,24816数列递增，随n增大，可向不动点XO=I逐渐“靠拢”；这种不动点，叫“吸引不动点”，总之，不动点可分为“排斥不动点''、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.本讲小结1、数列的迭代运算:逐个代入，计算各项的过程.如：4=1，=2a+14=1n%=3=生=7前一次计算时的y,是后一次计算的x.=蛛网图的原理！2、数列的“生成函数”：4用y,“x得到的函数na向=24“+1的生成函数是：3、数列的不动点：满足&“=%的%的数值，叫数列的“不动点”；（1）数列本身的角度：当4=不动点时，6为常数数列.不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.（2）生成函数图象的角度：数列4有不动点。生成函数的图象与直线y=有交点；不动点=生成函数图象与直线V=x的交点的横（纵）坐标.第二讲“蛛网图”的来历和本质一、“蛛网图”的来历和本质上节课例4.已知=,a"+1=24-1,wN+.讨论&的单调性.当q=2时，a2=2«1-1=3a3=2ai1=5a4=2ay1=9前一步的y,是后一步的X迭代计算是一个代数运算的过程；“蛛网图”是把迭代过程T几何（图象）化处理.己知=a,an+1=2an-1eN*.讨论4的单调性.4=2时，=2,3,5,9,174=O时，=>0,-1,-3,-7,.刚才是在X轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线，：y=进行转换.蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线/：y=,对迭代过程进行图象化处理.（1）画出生成函数图象和直线y=%；（2）为当X,生当y,在生成函数图象上画出（勺?）点；（3）向直线y=作水平线，得交点（4，）；（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点（见，/），DaddyMummy前一个y代数迭代过程T辅助线/：y=x蛛前图Baby二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：对于4+=f（qJ型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为七，（I）若f（*1,则该不动点为“吸引不动点”；（其中尸（X）不恒等于0）（2）若/（0）1,则该不动点为“排斥不动点”；（3）若/'（不）=1,则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.若则数列递增;若%，则数列递减.定理：当/（力0时，%,）与a2k单调性相反.每次都“吸引过头2、f（）1,排斥不动点数列单调递增：%JeN+；数列严格单调递增：%,neN+.数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关!本讲小结.不动点的分类相切型不动点：/'(%)=1时，上增下减1 .蛛网图的原理借助于直线y=,把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观：缺点：不能替代大题目的代数证明.第三讲“不动点”和“蛛网图”的应用(一)应用1、判定数列的单调性和极限a例1.已知数列q,满足4川=四二T，"N+.分别判断4=2和4=1时数列的单调性;.,1I.an.+例2已知£->-b凡川=SnI丁,nwN.（1）判定数列单调性；选项(2)：极限为In(4)不恒成立，2019存在%wN+,使得>%时，4>3赤应用2、己知数列的生成函数和单调性，求叫的取值范围由例1,例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.例4首项为正数的数列4满足。回=；（。；+3）,£N+.若对一切N+,都有4+”,求6的取值范围.例5已知数列可满足%+产黑且对任意N1有。用>4,则q的取值范围是.（1）%<3时，；是吸引不动点，数列递增；（2） 时，g吸引、1排斥=>数列递减;3（3） IVqV5时,1排斥=>递增到“高台跳水”;（4） a>时，a2<0例6已知常数0>0,数列q满足/=IP-4|+勿”+("),首项为4,前n项和为S.若SNS3对任意wN+成立，则J的取值范围为.3?XN"解：(1)生成函数为y=p-+2+p=/''一=>在/：y=上方，数列递增x+2pfx<pS.S,f140(2)S,S3恒成立是什么意思？=43=43)-3劣U/.ai<a2<a30a4tai<a2<a7,O<p3a,?Cit1NP4+2p,an<pa2=01+2p<0,a3=ay+4p0,44=q+6p0/.-6-4P法2：¾+,=p-an+2an+?=>an-an=p-an+an+p=12p,anp20zf,a1t>pVp>O,/.4+1-4>O,.an递增,a1.f+2,bn<法3：设H=,则%=1-%+2+1,心=："作图或者作差=数列P1¾,2>1也递增，记数列他的前n项和为，则北，出0且”0后面同理本讲小结1、不动点和蛛网图的应用应用1、判定数列的单调性和极限；应用2、己知数列的生成函数及单调性，求q的取值范围2、注意事项（1）灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；（2）生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.（3）碰到复杂而陌生的问题，要注意"退'的思想和“换元法”的应用.第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围例1.数列七满足=。，%+1=-V+x,+Q"wN.若玉单调递增，则实数C的取值范围是.分析：生成函数y=-+x+c,抛物线随着C的变化而上下平移.（1）当c=0时，从不动点角度：令x=-f+,n2=o=相切从数列角度：C=O时，vrt+=-V+x1=O=>xzt=O（2）当CVO时，抛物线在直线y=%的下方=七递减（3）当c>0时，假如c=0.5,蛛网图判断：（4）怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！前一个y,是后一个=>yw对称轴，即：顶点不得高于直线y=c）例2若数列%满足q=g,a=t-an+m,若对任意正整数n都有凡<2,则实数m的最大值为（）A.0.5B.1C.2D.4解:生成函数y=g-+m,图象是抛物线，开口向上（1）y=x2-x+m>x,则数列递增，.<2的必要条件是：x=1x2-x+m有解-x2-2x+n=0=>=4-2w0,.m22（2）当m=2时，抛物线与直线y=x相切q=g,在直线y=x上方迭代，数列递增，不动点为2,答案：C例3数列4满足=1，an+i=-m+t若对一切eN+,an2t则m的取值范围是()A.m2B.1zn2C.m3D.2m3解：生成函数为)，=e+1=左加右减：y=ev+1,向右平移m个单位(1)当机2时，图象在直线y=上方，没有不动点，无限递增，不合题意；(2)当机=2时，相切型不动点2生成函数递增，412),符合题意；(3)当相3时，吸引不动点(12)Vi=1,1<an<x1<2t符合题意.答案：A例4.已知数列q满足q+=M4-d).若q=；,k=1,则也的最小值是若4=2,且存在常数M0,使得任意4,则实数k的取值范围是一可知