不动点与蛛网图（学生版）.docx

不动点与蛛网图不动点与蛛网图第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.q+fy，外X得到的函数如：%+1=。：，把%+1当作y,把4”当做X=y=2;2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.前一次计算时的y,是后一次计算的X.3、数列的不动点：满足凡讨=4,CN-的句的数值.例1.己知4=,«+1="N+.若6是常数数列，求4的值.解：=4+1=4=%,；4=°或。“=1,工4=°或1(1)数列的“不动点''其实不是点，而是数值；(2)若4=不动点，则数列是常数数列，凡二不动点.二、进一步分析：满足。用=勺，eAT的勺的数值，叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？=÷8=4=a"/+8=On为无实数解例2.己知数列4满足=。，4川=d+尻若数列4有不动点，则实数b的取值范围是(1)数列角度卜"a'Oaj+b=o2+b=0nA=i-4b0=b;IAM=4一+4(2)函数角度：1;有解0丁+力=XoX2-+,=onA=一4h0nb'y=xi+b4(3)函数图象的角度：数列q有不动点=生成函数的图象与直线V=x有交点；生成函数图象与直线y=的交点的横(纵)坐标二不动点.例3、己知数列q,满足q=%+=aj+4neN则()A.当b=;时，VR,q°>10恒成立B.当方=1时，FawR,%。>10恒成立C.当人=一2时，YaeR,q0>10恒成立D.当力=-4时，DR,4°>10恒成立解：(1)当后：时，数列%有不动点，即"2=""，?='+"有实数解;4U+=4Iy=X(2)图象角度：当6耳时抛物线尸XF与直线广、有交点:(3)不动点X。的数值：B中6=。，由d+9=得：C中b=-2,由/-2=X得：/=T或2D中b=T,由一_4=X得：T±折。2选项B中，取q=g,则a”=g，o>1不成立；C,D同理可排除.实际不用算，看图判断出：不动点<10即可.问题：当b=g,即可“二d+g时，无论取何值，4。>10为什么恒成立?1、观察抛物线和直线的位置关系:(1)函数角度：y="恒成立;(2)数列角度：川=。/+>“恒成立;=>4严格单调递增2、如何保证40>10呢？.a7>4,>16.*.10>a8>16>10三、不动点的分类例4.已知q=4,rt+1=2an-bwN.讨论%的单调性.解：(1)当4=1时，q,=14为常数数列；(2)当4>1时，用归纳法或同号法，可证明：an>*on+1-an=an-1>Q凡递增如q=2时，=>23,5,9,17.。”与不动点七=1的差，随n增大而增大.(3)当4<1时，同理可证q<1,且6递减如6=。时，=>0,-1-3,-7,与不动点Xo=I的差，也随n增大而增大.总之，当工1时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.；，-I”这种不动点，叫“排斥不动点例5.已知4=。，q+1=3“+3，eN+.讨论)的单调性.解：(1)当4=1时，q,=14为常数数列；(2)当4>1时，如q=2时,=2空？24816数列递减，随n增大，向不动点=1逐渐“靠拢”；(3)当4<1时，如4=O时，n1371524816数列递增，随n增大，%向不动点XO=I逐渐“靠拢”：这种不动点，叫“吸引不动点”，总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点''等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.本讲小结1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：4=1，=2+14=1=%=3=4=7前一次计算时的y,是后一次计算的x.=>蛛网图的原理！2、数列的“生成函数”：4+y,4Tx得到的函数n*=2%+1的生成函数是：3、数列的不动点：满足凡X=。”，的%的数值，叫数列的“不动点”；(1)数列本身的角度：当/=不动点时，%为常数数列.不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.(2)生成函数图象的角度：数列q有不动点=生成函数的图象与直线>=工有交点；不动点=生成函数图象与直线y=的交点的横（纵）坐标.第二讲“蛛网图”的来历和木质一、“蛛网图”的来历和本质上节课例4.已知6=2”-1,eN+.讨论4的单调性.当4=2时，a2=2a1-1=3ay=Ia2-1=5前一步的y，是后一步的X迭代计算是一个代数运算的过程；“蛛网图''是把迭代过程T几何（图象）化处理.已知=,an+i=2a,-1,eAT.讨论/的单调性.%=O时，=>0,-1,-3,-7,.刚才是在X轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线/：y=进行转换.蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线/：y=,对迭代过程进行图象化处理.（1）画出生成函数图象和直线y=4（2）©当X,生当y，在生成函数图象上画出（4,出）点；（3）向直线y=工作水平线，得交点（/，出）；（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点（%，），DaddyMiumny前一个y代数迭代过程辅助线/：y=x姝岛图Baby二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：对于=/（见）型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为与，（I）若/（XO）1，则该不动点为“吸引不动点”；（其中/'（力不恒等于0）（2）若尸（XO）1,则该不动点为“排斥不动点”：（3）若/）=1,则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.1、,（x0）1,吸引不动点定理：当/(力>0时，若%>6,则数列递增;若<4,则数列递减.定理：当/(x)<O时，z与%单调性相反每次都“吸引过头=v)图1一1定理：当/(6>o时，若4>4,则数列递增;若见<4,则数列递减.3、/=1时J(X)X，左恻排斥,在侧吸用数列单调递增：tzw+1,eN+；数列严格单调递增：nzzt,"N+.数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关!本讲小结1 .不动点的分类相交型不动卢排不不动点相交型不动点：V,()<i:吸引不动点相切型不动点：/(%)=时，上增下减2 .蛛网图的原理借助于直线y=,把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观；缺点：不能替代大题目的代数证明.第三讲“不动点”和“蛛网图”的应用(一)应用1、判定数列的单调性和极限例1.已知数列4满足4川=MKeN+.分别判断勾=2和4=：时数列的单调性;均单调递减单调递增例2已知4e%+I=Sin詈，neN(1)判定数列单调性；选项(1)：数列递增；选项(2)：极限为I=(4)不恒成立，2019存在使得时，费.应用2、已知数列的生成函数和单调性，求外的取值范围由例1,例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.例4首项为正数的数列&满足.=；+3),eN+.若对一切女N+,都有4+金外,求外的取值范围.解：/(力=：卜2+3)=X=>=1,X2=3.*.4(0,1或q3,+)例5已知数列a,J满足。向=号，且对任意N+,有&+|>可，则为的取值范围是解：由X=。得:2x2-3x+1=0,不动点=:，.v2=13-2x2画出函数y=hI-及直线y=X的图象3-2x(1) 4<g时，；是吸引不动点，数列递增；(2) :<4<1时，!吸引、1排斥n数列递减；223(3) 时，1排斥n递增至IJ"高台跳水”；3(4) 4时，叼<0*4V§例6已知常数>0,数列,满足4H=IP-qJ+24fj+p("N+),首项为，前n项和为stt.若SnS3对任意nwN,成立,则-的取值范围为.P3?%>n一=>在/：y=x上方，数列递增x+2pfx<p(2)Sz,S3恒成立是什么意思？S4S3fa40S2Sy¼<0.*.ai<a2<ay0a43a,?ap(3)4川=,*：a1<a2<ayO<p%+2p,an<p；电=4+2p<0，=1+4p<0>a4=ai+p0.-65-4P法2：an+i=p-a11+2a11+p>an+i-an=p-an+an+pJ2p,an<pN，an>p.”>0,，a“+-a”>0,，a'递增,a,f+2,<1,、法3：设=则%=1-2+纥f+1,%=："作图或者作差n数列也递P2/Dn>1增，S记数列"的前n项和为&则7>,H0且a0后面同理本讲小结1、不动点和蛛网图的应用应用I、判定数列的单调性和极限；应用2、已知数列的生成函数及单调性，求4的取值范围2、注意事项(1)灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；(2)生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.(3)碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换无法”的应用.第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围例1.数列再,满足玉=0，X”+I=Tj+x,r+c,若卜“单调递增，则实数C的取值范围是.分析：生成函数y=-+c,抛物线随着C的变化而上下平移.(1)当C=O时，从不动点角度：令x=/+/,=/=。=相切从数列角度：C=O时，/“=-+Vf=0=%=0(2)当c<0时，抛物线在直线y=的下方=>x,J递减(3)当c>0时，假如c=0.5,蛛网图判断：(4)怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！前一个y,是后一个=>ymax对称轴，即：顶点不得高于直线y=>c!例2若数列q满足4=g,an=-annt若对任意正整数n都有q<2,则实数m的最大值为()A.0.5B.1C.2D.4解：生成函数y=g2-+m,图象是抛物线，开口向上(I)y=2-+n>xf则数列递增，4V2的必要条件是：方程=g2-+m有解IX2-2x+=0有解=A=4-2w0,.*.m<22(2)当7=2时，抛物线与直线V=X相切q=3，在直线y=r上方迭代，数列递增，不动点为2，.答案：C例3数列“满足4=1，*1ea1+,若对一切七"+,«<2,则m的取值范围是A.rn2B<m2C.w3D.2m3解：生成函数为y=ei"+=左加右减：J=ev+1,向右平移m个单位(1)当“<2时，图象在直线y=上方，没有不动点，无限递增，不合题意；(2)当7=2时，相切型不动点2生成函数递