6存在任意型公开课.docx
存在低意型典俐26已知函数/(%)="：+",R.(1)求函数Ar)的单调区间：(2)设函数g(x)=(xk)e'+Z,kZ,e=2.71828为自然对数的底数.当=1时，若mj(O,÷),x2(0,÷),不等式5(x1)+g(x2)>O成立,求攵的最大值.1一TnX,(11f()=-p(>0).由/(x)=0,得X=9"易知了(%)在(0,+8)上单调递减，.当OVXVe1a时，f(x)>Of此时函数儿r)单调递增；当x>e“时，/(x)<0,此时函数次x)单调递减.函数AD的单调递增区间是(0,e")，单调递减区间是(e“，÷).(2)当。=1时，由(1)可知於Hrte")=1,.3X1(O,÷QO),2(0,÷oo),加X)+g(jQ)>O成立，等价于5+(1一A)ex+A>O对x(0,+qo)恒成立，x+5；当X£(0,+oo)时，et1>0,'x+>k对X£(0,+s)恒成立,C1jv+5e”(cI-BJVe"-6)设力(X)=X+最二7j,则为=令尸(x)=e'x6,则尸(X)=F-1当x(O,+8)时，F(X)>0,，函数Fa)=8一工一6在(0,+8)上单调递增.而F(2)=e2-8<0,F(3)=e3-9>0.F(2)F(3)<0.存在唯一的的W(2,3),使得尸®)=0,即的=XO+6.，当x(0,XO)时，F(x)<0,h,(x)<Of此时函数(X)单调递减：当X£(xo,+oo)时，F()>0,h,(x)>Ot此时函数万(%)单调递增.:当X=Xo时,函数MX)有极小值(即最小值)(X0).,(W=x°+*=期+03,4).又*Z,.”的最大值是3.典例2刀已知函数兀C)=X(+1)1ru-*£R),g(x)=52+ex-xe(1)当x1,eD,求火X)的最小值；(2)当V1时，若存在xe,e2,使得对任意的刈七一2,0,/(xi)Vg(X2)恒成立，求。的取值范围.解析:(Iga)的定义域为(0,+oo),/a)/”一当二,若1,当X£】，e,/()0,则於)在1,e上为增函数，贯或向=/(I)=I一若IVaVe,当1,时，/()0,九。为减函数；当x,e时，/(x)>0,段)为增函数.所以加而产区，)=-+1)'a-.若e,当Xw1,e,f(x)Ot危)在U,e上为减函数，r)min=(e)=e-(+1)?.综上，当日1时，/Wmin=1-a;当IVaVe<,/(x)min=-(÷1)1«1;当a>Q时，,/(x)min=e-(。+1)一(2)由题意知，(x)(We,e2)的最小值小于g(x)(t2,0)的最小值.由(1)知，(x)在e,e?上单调递增，Omin=e)=e-(f1÷O-(x)=(1-c)x.当X12,0时,gf(x)Qtg(x)为减函数，g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-V1,g2Og/e2"-2e、即>一h，所以的取值范围为1.e十1Ie十I/翼例28(2023天津)已知1>0,函数Kr)=Or一加二(1)求曲线y=Kx)在点(0,10)处的切线方程；(2)证明函数y=U)存在唯一的极值点；(3)若存在实数凡使得人幻土+匕对任意xR成立，求实数人的取值范围.(i)()=q-(+g则/()=一,义人0)=0,则所求切线方程为y=(1)x(a>0)(2)令/(x)=-(x+1)eA=0,则d=(jr+1)e'.当x(-8,2)时，g,(x)<O,g(x)单调递减;当x(-2,+),/(x)>0,g(x)单调递增.又当XT8时，g(x)<O,当x-+co时，g(x)>0,又g(D=0,故画出g(x)的大致图象如下：所以当d>0时，y=a与.v=g(x)的图象仅有一个交点.令g(w)=4,则n>1,且/(w)=-g(阳)=0.当X£(8,M时,a>g(x)tW(x)>0,KX)单调递增;当x(w,+8)时，a<g(x)f则/(x)VO,凡¥)单调递减，所以X=m为/(x)的极大值点，故«¥)存在唯一的极值点.(3)由(2)知八r)ma=(m),此时。=(1+加)”，且加一1,所以(/U)_)wx=J1m)a=(n2-m-)e,n,/«>1.令h(x)=(.t2-X-1)ev(x>1),若存在m使得於)±+。对任意xR成立，等价于存在XW(1,+8),使得h(x)<h,即>(x)min.h,(x)=(x2÷-2)ev=(XI)(X+2)ev,x>-,当x(-1,1)时，"(x)V0,Zz(X)单调递减；当x(1,+8)时，Zfa)>0,MX)在(1,+8)上单调递增，所以z(x)min=6(1)=-e,故b-e,所以实数b的取值范围为e,÷).对点句侬1-X7.已知。1)=+1ar,(£R,且0).(1)试讨论函数y=Kx)的单调性；(2)若mxo(O,+8)使得Vx(0,+oo)都有人0次孙)恒成立，且TU)0,求满足条件的实数4的取值集合.斛新.1-X-1+奴(1)由/幻=-+1111，得/(X)=一/一(>0).当V0时，/()>0在(0,+8)上恒成立，於)在(0,+oo)上单调递增：当>0时，由/(外>0得*>十，由/(x)V0得OVXV加)在(0,?上单调递减，在&+8)上单调递增.综上：当V0时，Rr)在(0,+8)上单调递增，无递减区间；当>0时，/(x)在(0,0上单调递减，在+8)上单调递增.(2)由题意函数存在最小值人M)且购心0,当V0时，由(1)上单调递增且y)=0,当x(0,1)时，7(x)V0,不符合条件：当>0时，於)在(0,0上单调递减，在R+4上单调递增，-Wmin=70)=1-+In5,只需fix)min0即1-5+In->0,记g(0=1x+1n&X>O)则g'(x)=1+：,由g")>0得OVXV1,由gQ)V0得>1,g(x)在(0,D上单调递增，在(1，+8)上单调递减，(x)<g(1)=0,'=ha=t即满足条件a的取值集合为1).m1I8.已知函数贯X)=X"n%-(R),g(x)=x2+e'一心二(1)若n<e+1,试求KX)在1,e的最小值;当m2时，若存在xe,et使得对任意的必£-2,0,於|)与(也)成立，求实数tn的取值范围.斛析；in1(1次X)=X"IInX-一,且定义域(O,÷),1m.n-(X1)-(/«I).=-7÷-=,当n2时，若£1,e,则/(x)0,J(x)在I,e上是增函数，则,")min=JU)=2-m当2<m<e+1时，若x1,n-t则/(%)0;若xw-1,e,则/(x)0.v)mn=fimI)=/n-2zdn(wI).已知等价于加)mh2)min由(I)知m2时，在xWe,。2上有()K),m-I*-)min=e)=e又g'(x)=x+e'-+1)e'=x(1eA),当M-2,0时，g'(M)0,g(M)min=g(O)=1.tn-e2-e+1所以m<2且e?<I,解得T-:一<tn<2.ee十Ie2e+1所以实数机的取值范围是一H1，2.e+I9.已知函数兀T)=InX,(X)=ax(eR).(I)若函数Ar)与Aa)的图象无公共点，试求实数的取值范围；(2)是否存在实数阴，使得对任意的x0,+8),都有函数y=(x)+T的图象在g(x)=号的图象的下方？若存在，请求出最大整数，的值：若不存在，请说明理由.参考数据：In20.693I,In31.0986,e1.6487,半1.3956.解析，InT(I)函数Ao与(X)的图象无公共点，等价于方程一在(0,+上无解.令心:)=乎(>0),则«x)=1¢"”,令")=o,得=e.当X变化时，«戈)，心：)的变化情况如下表：X(O,e)e(e,÷oo)t,(x)÷O/(A)极大值由表可知X=e是函数心)的唯一极大值点，故Zmav=Z(e)=,故要使方程35=在(O,+oc)上无解，只需>:,故实数的取值范围为+oo)(2)假设存在实数加满足题意，则不等式Inx+£对&+8)恒成立，即m<eA-x1nX对XW七，+oo)恒成立.令r(x)=et-x1nxt则y(x)=et-Inx-1,令(x)=ex-In-1,则e'(x)=ex-因为9'(%)在(；，+s)上单调递增，Q)=e2-2<0,(1)=e-1>0,且d(x)的图象在七，1)上连续，所以存在M)GG，1),使得°'(xo)=O,即CA°5=0,则XO=InKo.所以当xg,M)时，9'(x)V0,0(%)单调递减：当X£(xo,+oo)时，,(x)>0,p(x)单调递增.所以°(x)的最小值为0(xo),且W(Xo)=ex。-In沏-1=%o÷-1>2/.v0-1=1>0,XOyKo所以"(x)>0,XX)在区间(；，+qc)上单调递增.&(；)=Jin；=+/21.99525.存在实数"7,且最大整数用的值为1.Io.已知向量次=(ex,1nx+k),=(1,7(X),mMk为常数,e是自然对数的底数)，曲线)=火工)在点(1,/(1)处的切线与)，轴垂直，F(x)=xexf(x).(1)求k的值及尸(X)的单调区间；(2)已知函数g(x)=-2+20r(为正实数)，若对于任意乃仁口，1,总存在X1W(0,+8),使得g(x2)<P(x),求实数4的取值范围.解析:In(+女Inx-k(I)由已知可得TU)=弋7一,所以(幻=-"-由已知，/(I)=-k=0,所以=1,所以尸(x)=-1n-2.所以F(x)=xexf(x)*nx-)=一XIn-t由尸(X)=-In-2>0得0<vp;由F,(x)=-nx-2<0得*.所以Fa)的单调递增区间为(0,单调递减区间为卜，+8).(2)因为对于任意刈£0,1,总存在立£(0,+),使得g(X2)尸(箝),所以g(x)ma7(x)max由(1)知，当X=F时，尸(X)取得最大值H)=I+p.对于g(x)=-x2÷2av,其对称轴为直线Ix=a.当OVa1时，g(x)nvi=g(a)=a2,所以/1+土，从而0心1；当a>1时，g(x)ma=g(1)=2-1,所以2a1<1+卜，从而1<<1+白.综上可知，实数”的取值范围是(0,1+为.
