线性代数同济大学第四版课后答案.docx
线性代数同济大学第四版课后答案本文档内字体为阿里巴巴普惠体R，CTR1+A全选可调整字体属性及字体大小-CA1-FENGHA1NetworkInformationTechno1ogyCompany.2023YEAR线性代数同济大学第四版课后答案习题一习题一1-56-101 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 O1(1) 14-1;-183abc(2) bca;cab1y.+j,x+yx-.y113=2×(-4)×3+0(-1)×(-1)+1×1×8-0×1×3-2×(-1)×8-1×(-4)×(-1)=-24+8+16-4=-4.cibc解bcacab1 -acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc-3abc-a3-1r,-c3.2 11解6Ca1b1c1=bc2+cc+ab-ac2-bc-cb2=(a-b)(p-C)gd).Xy.+V解yx+yXx+yxy=(+)0j÷j0÷(+vhz7一(Vty)一丫=3xy(.+)-y3-3.2j-.3-y3-.3=-2(x3+y2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数：(1)1234;(2)4132;(3)3421;(4)2413;(5)13(2n-1)24(2);(6)13(2-1)(2)(2-2)2解逆序数为O解逆序数为4:41,43,42,32.解逆序数为5:32,31,42,41,21.解逆序数为3:21,4143.解逆序数为吟：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(272-1)2,(2/2-1)4,(2，1)6,，(2z-1)(2z-2)(72-1个)解逆序数为G11)：32(1个)52,54(2个)(211)2,(211)4,(2i11)6,(211)(212)Q1I个)42(1个)62,64(2个)Qi)2,(2n)4,(2n)6,(2%)(2m-2)QI个)3.写出四阶行列式中含有因子S1a23的项.解含因子aa23的项的一般形式为(-1)%1储23。*,其中心是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子aa23的项分别是(-1)%11。2/3/44=(-1)%I1a2/32处4二一012/必44，(一1)%11"23442=(一1只僧2切34"42=11"23W¾23 +4xlIAGX-2341110-O 4 19-10O-9017901174.计算下列各行列式:2021T2 3O4111004 0-0 720211 251411100J112242361T2OOOl O 11 CT IbTo QT Oo (4)4207202119-511-2 +41110009-00 4234IT 21 23 127rM0202 4236 IT 2 0 23 15 1122 4236 IT 2 O 23 15解O一一020042301-12O2310-Acibcdef.解(4)OOId l CT TpmoOToo - Ool O 1 CTIlTP - O 4 Too解+abaO1C3+A21+abaad二(-1)(-1)?+1-1c1-1c+cc1O-1dIO-1O=(-1)(-1)3+21+c(=abcd+ab+cdd+1.5.证明：Ci1abb12(1)2ra+b2b(<7-Z)3;111证明abb2c2-c112Qb-cPb2-a22ca+b22rb-a1b-2c1111c3-c111OO=(T尸忆，卷工=0-。)。-研”=(M)3.cx+byay+bzcz+bxxay+bz。二+bxax+by=(c3+b3)yaz+bxcix+byay+bzax+byrn+bzaz+bxc/y+bzc+bxax+byaz+bxcx+byay7+bz-axcy+bzciz+bxyaz+bxcx+by二c/x+bvav+bz+byay+bzzc+bxxax+bvcz+bxcix+byav+bz-C1i=a3ay+bzzaz+bxxcx+bvy+b2yza+bxzxcix+byxvcv+bz+b3.+Z>3y=xv二.vxyz=(<73+Z>3)y=Xzxyci1(+I)?(<+2)2(7+3)2b2(H1)2¢+2)2(Z)+3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2d1(+1)2(J+2)2(+3)2C12b2C1d2（。4一。3,C厂。2,。2-G得）(67+1)2(4+2)2(+3)2(Z>+1)20+2)20+3)2(c+1)2(c+2)2(c+3)2(d+1)2(d+2)2(d+3)2NC1（4一。3,C厂C2得）26Z+12Z)+12c+1%+1勿+32Z)+32c+32J+3ZZ+52Z)+52c+52J+5crb2c1小=0.2a+12b+12c+12+11 cc2c4IAz>2z)4I 7or 4r(4)二(O-b)S-c)9-d)3-c)(b-d)(c-d)(c+b+c+c1),Oo1b-ab(b-d)b2(b2-a2)11c-ad-aC(C-)d(d-d)c2(c2-a2')2(2-fz2)111=(b-ci)(c-ci)(d-d)bedb1(b+ci)c2(c+ci)d2(d+ci)111=(b-d)(c-d)(67-67)Oc-bd-bPc(c-b)(c+b+ci)d(d-b)(d+b+ci)=(b-a)(c-d)(d-a)(c-b)(d-b)C(CJb+a)d(d+b+d)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(c+b+c+d).OT-1.oOo-T.+rOo-./=A+r71-1+一+cn.x+an.证明用数学归纳法证明.当后2时,D2=x2+c1x+a2,命题成立.C<2Ic<假设对于(711)阶行列式命题成立，即Z)-=.V21+<7Xn2+cin-2+C1n-则口按第一列展开，有1OOOA=他-1+6(T产二1二?°.11X1=xDn-1+an=x+a21+-an-x+an.因此，对于，阶行列式命题成立.6 .设，阶行列式&det(%),把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得*1)证明4=4=(T)FDAD.证明因为Z)=det(a所以Z)I=(-1)m-1(-1)z1-2z(n-1)=(_1)1+2+9-2)+(M-I)D.同理可证m(m-1)m(m-1)m(m-1)A二(T).4=(T)1(-1)D=(r1)D=D.7 .计算下列各行列式(5为左阶行列式)：a1(DA=,其中对角线上元素都是未写出的元素1a都是0；(按第行展开)OoQ - O O Oao - O O oo -O1=1Ma+(-1)2m6/.IooOooOoo Oo l O Qo(-1)-(M-1)(y-1)=(-r1.(-y+="-"一2=小(_1).(m-2)(m-2)Q)DR=cici.解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得oo二XO/0-OX-OOXFXX-Dn=再将各列都加到第一列上,得+(n-1)fzaOx-aA=OOOx-a*00x-a=.÷(2-1)a(x-a)n.(3)A÷=mw(r-1)n-16711(a-7i)n(r-z)n1 c-n 1解根据第6题结果，有1a-n(-7z)w11m(m+1)%=(T)kaa-1*(a-1)x1-1an(a-i)n此行列式为范德蒙德行列式.M(ZH-I)加二(T)-=(6-Z+1)-(67-+1)M+1j>y1m(m+1)=(T)y-(-)x+1>J1M=Dn+(n-1)+1=(-1)-.(-1)2.(-)M+1>J1二0-)n+>i>j>q4q4D2n=(按第1行展开)CM4qaC140¾-%q4C14如O+(-1严-°Odn再按最后一行展开得递推公式/)为一及一2一“扇刀打一艮口。勿一(力b%c/z)2/_2.于是=邛04一刎)。2.而“二口g卜。冏-A。1,所以¾=(-).Z)=det(¾),其中QIZ9;OI 2301211 Av 1139-107Z-1n-2Z2-3,724O=(_尸OI)2%-2.Oo22 一二2 OooLOoOO二 271+r1(6)A=11其中aa2丹0111+q1aOOq-。2o一4/.2.3OOO.OOO-OO1OO1OO11-10000001000-110000.-11姑000一11+不00001000-110000-11（1-¾-1¾-11°一61+6001-10oooo+y1&用克莱姆法则解下列方程组:.+.T2+.V3+.4=5（1）+2.0-M+4%.3%+.Y2+2,3+11v4=0解因为421£ -95-)5 - - O2-A。-= - X*5.+6.2=1.+5.2+6.3=O(2)-x7+5.3+6.v4=0.3+5.
