第5节椭圆.docx
第5节椭圆知识衍化体验知识梳理1 .椭圆焦点焦距(1)4>c(2)a=c(3)a>c2 .2af2bf2cf(0a2-b2基础自测1. (1)(2)(3)(4)(5)X2. A3.(孚,1)或(半,-1)4.85.C.6.D.第1课时椭圆的方程及性质考点聚焦突破【例1】(1)ABC.(2)C.【训练1】(1)C.(2)-5解(1)由椭圆方程得=J3设椭圆的另一个焦点为尸，有椭圆的定义得IB4|+忸耳=IcAI+b=2,所以AABC的周长为忸A+忸C+C4=BA+BF+CF+(=(BA+BF)+(C4+CF)=247+26Z=4=43.(2)由椭圆方程可知K(3,0),由椭圆的定义可得PF1=2a-PF2f.PM-PF1PM-(2a-PF2)=PM+PF2-2aMF2-2a.当且仅当M，P，工三点共线时取得等号，又|加周=5(6_3)2+(4_()2=5,2a=10,.尸MITPE15-10=5,即IPMT尸用的最小值为一5.2【例2】(1)A(2)C.二+)，2=14【训练2】(1)B.(2)C.(1)椭圆长轴为6,即2。=6,得=3,.两焦点恰好为长轴三等分，2c=；,2。=2,得c=1,因此/=a2-c2=9-1=8,所以椭圆的标准方程为三+上=1.98(2)由题意得，设椭圆的方程为y2X21(a>b>O)f由a=2Z?,一个焦点为(0,-23),a2-b2=c2,可解得=16,从=4,所以椭圆的方程为二+二=1.164【例3-1(1)【例3-2(1)【例3-3(1)A(2)C.8. (2)D.9. (2)D.PF；(1)1-PF?【训练3】(1)(1)设,b,力时面积最大,(4卡)=P+-8,Ps1,3,当PK=I时，所求最大值为9.pfiD.(2)AC分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意得，当三角形的高为所以X2m=,bc=1,而2。=2yb2+c222bc=22,2当且仅当。=C=I时取等号，即长轴长2a的最小值为(2)不妨设椭圆方程为二+二=1(。1),aa-X与直线I的方程联立a2-'即消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10_/=0,y=x+3,由题意易知，=364-4(22-1)(10«2-4)O,解得"所以e=2=1且,aa5所以e的最大值为或.第2课时直线与椭圆的位置关系考点聚焦突破【例1】(1)A.(2)(1)-32m3y2；(2)m=±32：？一3V或？3行(1)4.直线y=依一攵+1=&(n-1)+1恒过定点(11),又点(U)在椭圆的内部，故直线与椭圆相交.y=2x+m(2)解将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由方程组y?得1=1429x2+Smx+2m2-1=O(*)»此方程的判别式A=(8w)2-4×9×(2n2-4)=-Sm2+144.当A>0,即-3<m<30时，方程(*)有两个不同的实数根，可知原方程组由两组不同的实数解，这是直线/与椭圆C有两个不重合的公共点.当=(),即加=±3忘时，时，方程(*)有两个相同的实数根，可知原方程组由两组相同的实数解，这是直线/与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线/与椭圆C有且只有一个公共点.当A<(),即m<-3或机>3立时，时，方程(*)没有实数根，可知原方程组没有实数根，这是直线/与椭圆C没有公共点.训练1(1)相1,且加工5.直线y=履+1恒过点(0,1),此点应在椭圆上或在椭圆内,当TH=5时，二+二=1表示圆，所以m1,且相5;5m(2)解法一由(1)知B(0,3)，F(1O),直线BF的方程为y=-3(x-1),法二由(1)知8(0,、万)，F(1O),直线B尸的方程为y=-6(1一1)，由题A(2,0),显然直线厂的斜率存在，设直线/'的方程为y=M-2),联立方程组y=-3(x-D解得"沙，代入椭圆解得：Z=也或Z=_且，又由题意知，y=k(x-2)_-322y=<0,得左>0或4<一6,所以k=典.k+y/32法三由题A(2,0),显然直线厂的斜率存在，设直线/'的方程为y=&。-2),y=k(x-2)2联立方程组£_,(4r+3)-16x+162-12=0,TT-.一12强所以，力二行7,当8凡P三点共线时有，%=%，-12，石即4喋3=W，解得¢=3叵或Z=-立，又由题意知，>=三与<0得8k-61224K+34A2+3k>b或k<-5所以左=空2【例2-1解(1)设弦的端点为Pa,%),(x2,y2),中点M(X,y),贝Ik+%=2x,M+%=2y,由于点P,0在椭圆上,-得X2+X1_X2(%+y)一一5由点A÷=t故有：*,+y22=1，2x+4y-3=0.(2)法一椭圆的重心在原点，一个焦点为(0,2)r2V2设椭圆方程为-+4=IS>1),从+4b2yI=从+4b2'消去X得(10从+4)y2-i4(从+4)y9r+13从+196=0,y=3x+1f设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(AX),3(和必)，由题意得中'K+*=愕等=2,解得"=8,.所求椭圆方程为=十£=1.812法二椭圆的重心在原点，一个焦点为(0,2)二.设椭圆方程为一二一+4=1(Z?>1),Z?2+4b2设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为Ag,y1),(x2,%)，则又弦4碓中点的纵坐标为1故横坐标为-2»=江&=3,Xr2代入上式得3-=-M,解得从=8,2×(-2)b故所求椭圆方程为+f=1.812【例2-2解(1)根据题意，设外E的坐标分别为(-c,0),(c,0),1。+c=3,£_2解得=2,c=1，贝帕2=/一。2=3,a=2f故椭圆C的标准方程为上+亡=1.43(2)假设存在斜率为一1的直线，设为y=-+机，由(1)可知与鸟的坐标分别为(-1,0),(1,0),所以以线段68为直径的圆为x2+y2=1,由题意知圆心(0,0)到直线/的距离Q=号V1,得|对2,IAB1=2>j1-d2=21=y/2X2-m2,.+Z=43-'消去VW7x2-8nx+4n2-12=0,y=-x-mf由题意得A=(-8加>-4×7(4zn2-12)=336-48m2=48(7-m2)>0,解得病<7.设C(%,yJ,O(X2，%)，则+W=与，x1X2=-m-2C*¾.止牌=产萨)芈Xf=串ABI=串X&万方；解得加2=：7,得m=g,即存在符合条件的直线/,其方程为y=-±2.333【训练2】迈.3法一由题意得，椭圆的右焦点尸的坐标为(IQ)，直线A砌方程为y=2(x-1),y=2(x-1),由22消去y,得3f-5x=0,154故得A(012),(4),贝IJM用=J(0_+2+(_2_?法二由题意得，椭圆的右焦点尸的坐标为(IQ)，直线ABfi勺方程为y=2(x7),y=2(x-1),X2y2消去y,得3f-5x=0,15455设A(X，y1),(2f%)，则X+r2=g，X1X2=O则M=J(XIf)2+(乂一%)2+"+%2)(与+为2尸-4中2卜小+22)()2-4×0=¥【例3】解(1)由A43P是等腰三角形,得a=2,6(2,0),设QaO,%),则由而=g9，6Xq=-2得5代人椭圆方程得从=,所以椭圆E的标准方程为工+VV-A4-(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为y=丘-2,y=kx-2f联立Jf消去y并整理得（1+4）x2-16H+12=0,（*）匕+因直线/与E有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，故=（-16幻2-48（1+4/）>0,解得公>3,4设M（X1,）,N（X2，丫2），16攵X1+X2=2，由根与系数的关系得"k12因坐标原点。位于以MN为直径的圆外，所以。MON>0,即玉w+X%。，又由x/2+yiy2=2÷（例一2）（5一2）=（1+/）._12_2k+4>o，解得小<4,综上可得3<F<4,则且<女<2或一2<Z<-且，422则满足条件的斜率%的范围（-2,Y）JW,2）.【训练3】（1）AC.由题意可知耳（一6,。）,鸟（60）,贝IJP可，8=（/+石）（%。一6）+乂=*+尤一3<o.因为点P在椭圆上,所以W=I-冬所以片+（1-1）-3<0,解得一手</<半,则飞的取值范围是（-半,半）.由丽A<o知P点必在以椭圆C的焦距为直径的圆内，由此求该圆与椭圆c的交点横坐标也可知小的取值范围为（-亚,3（2）C.设直线/与椭圆C：工+V=I的交点坐标为4（芭,凹）、（x2,js）,直线/的4-X2+4y2=1I/22方程为y=+t,由?消去>得5x2+8rx+4(2-1)=0,则y=x+tx1+x2=-,X1X2=1).所以，AB=71+7(x÷x2)2-4x1x2=15-Z=O时，ABmax4i5
